Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，點E是BC邊上的動點，以C為圓心，CE長為半徑作圓C，交AC于F，連接AE，EF．

（1）求AC的長；

（2）當AE與圓C相切時，求弦EF的長；

（3）圓C與線段AD沒有公共點時，確定半徑CE的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）AC=5；（2）；（3）或．

【解析】

（1）過A作AG⊥BC于點G，由，得到BG=4，AG=3，然后由勾股定理即可求出AC的長度；

（2）當點E與點G重合時，AE與圓C相切，過點F作FH⊥CE，則CE=CF=4，則CH=3.2，FH=2.4，得到EH=0.8，由勾股定理，即可得到EF的長度；

（3）根據題意，可分情況進行討論：①當圓C與AD相離時；②當CE>CA時；分別求出CE的取值范圍，即可得到答案．

解：（1）過A作AG⊥BC于點G，如圖：

在Rt△ABG中，AB=5，，

∴BG=4，

∴AG=3，

∴，

∴點G是BC的中點，

在Rt△ACG中，；

（2）當點E與點G重合時，AE與圓C相切，過點F作FH⊥CE，如圖：

∴CE=CF=4，

∵AB=AC=5，

∴∠B=∠ACB，

∴，

∴CH=3.2，

在Rt△CFH中，由勾股定理，得

FH=2.4，

∴EH=0.8，

在Rt△EFH中，由勾股定理，得

；

（3）根據題意，圓C與線段AD沒有公共點時，可分為以下兩種情況：

①當圓C與AD相離時，則CE<AE，

∴半徑CE的取值范圍是：；

②當CE>CA時，點E在線段BC上，

∴半徑CE的取值范圍是：；

綜合上述，半徑CE的取值范圍是：或．