Question

【題目】（問題提出）

“不以規(guī)矩，不能成方圓．”——孟子；“圓，一中同長也．”——墨經(jīng)．

（1）圓，一中同長也．”體現(xiàn)了古代先哲對“圓”定義的思考，請用現(xiàn)代文翻譯：____．

（初步思考）

圓規(guī)是我們初中幾何學習不可或缺的工具，用圓規(guī)不僅可以畫圓、畫弧，還可以畫弧與弧的交點，利用這一特征可以構造很多圖形，如：

（2）角平分線：如圖1，只用圓規(guī)在∠AOB中畫出一點P使得點P在∠AOB的角平分線上；對稱點：如圖2，只用圓規(guī)畫出點P關于直線l的對稱點Q，并說明理由．

（操作與應用）

（3）已知點A、直線l.在圖3中只用圓規(guī)在直線l上畫出兩點B、C，使得A、B、C恰好是等腰三角形的3個頂點，（畫出一個并寫出相等線段即可）：

已知點P、直線l.在圖4中只用圓規(guī)畫出一點Q，使得點P、Q所在的直線與直線l平行.（提示：平行四邊形對邊平行）．

（4）已知點O、A、B，只用圓規(guī)畫出半徑為AB的⊙O與點A、B所在直線的交點C、D.

Answer 1

【答案】（1）圓是到定點等于定長的點的集合；（2）圖形見解析；（3）圖形見解析；（4）圖形見解析.

【解析】

（1）根據(jù)圓的定義解答；

(2)圖1，利用作角平分線的方法作圖即可；圖2利用菱形對角線互相平分垂直作圖即可解答．

（3）以點P為圓心，大于點P到直線l的距離長為半徑畫弧，與直線l交于B，C兩點，則點B，C即為所求．或在直線l上任取一點B，以點B為圓心，PB長為半徑畫弧，與直線l交于點C，則點B，C即為所求；

在直線l上任取B，C兩點，以點P為圓心，BC長為半徑畫弧，以點C為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點Q．則點Q即為所求．

（4）過點A、B做直線，以點O為圓心，AB為半徑作 O,交直線AB于點C、D.

解：(1) 圓是到定點等于定長的點的集合．（其它定義也可以）；

（2）如圖1，理由：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

如圖2，

①如圖2，在直線l上任取點C；
②以點P為圓心，PC長為半徑作弧，交直線l于點D；
③分別以點C，點D為圓心，PC長為半徑作弧，處于直線l異側的兩弧交點為Q．
所以點Q為所求．

理由：四條邊相等的四邊形是菱形，菱形的對角線互相垂直平分．

(3)：（1）畫法一：
①以點P為圓心，大于點P到直線l的距離長為半徑畫弧，與直線l交于B，C兩點，則點B，C即為所求,此時PB=PC．

畫法二：
在直線l上任取一點B，以點B為圓心，AB長為半徑畫弧，與直線l交于點C，則點B，C即為所求．

②畫法：
在直線l上任取B，C兩點，以點P為圓心，BC長為半徑畫弧，以點C為圓心，PB長為半徑畫弧，兩弧交于點Q．則點Q即為所求．

(4)過點A、B做直線，以點O為圓心，AB為半徑作 O,交直線AB于點C、D.