Question

【題目】(2016·大連中考)如圖，拋物線y＝x2－3x＋與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，點D是直線BC下方拋物線上一點，過點D作y軸的平行線，與直線BC相交于點E.

(1)求直線BC的解析式；

(2)當線段DE的長度最大時，求點D的坐標．

Answer 1

【答案】(1) (2)

解：(1)∵拋物線y＝x2－3x＋與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，∴令y＝0，可得x＝或x＝，∴A點坐標為，B點坐標為；令x＝0，則y＝，∴C點坐標為.設直線BC的解析式為y＝kx＋b，則有解得∴直線BC的解析式為y＝－x＋；

(2)設點D的橫坐標為m，則坐標為，∴E點的坐標為.設DE的長度為d.∵點D是直線BC下方拋物線上一點，則d＝－m＋－＝－m2＋m.∵a＝－1＜0，∴當m＝＝時，d有最大值，d最大＝＝，∴m2－3m＋＝－3×＋＝－，∴點D的坐標為.

【解析】試題分析：本題考查了二次函數與一元二次方程，待定系數法求一次函數關系式，二次函數的圖像與性質.

（1）解一元二次方程求出A、B的坐標，根據y軸上點的坐標特征求出點C的坐標，利用待定系數法求出直線BC的解析式；

（2）設點D的橫坐標為m，表示出D點的坐標和E點的坐標，根據二次函數的性質解答即可．

解：(1)∵拋物線y＝x2－3x＋與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，∴令y＝0，可得x＝或x＝，∴A點坐標為，B點坐標為；令x＝0，則y＝，∴C點坐標為.設直線BC的解析式為y＝kx＋b，則有解得∴直線BC的解析式為y＝－x＋；

(2)設點D的橫坐標為m，則坐標為，∴E點的坐標為.設DE的長度為d.∵點D是直線BC下方拋物線上一點，則d＝－m＋－＝－m2＋m.∵a＝－1＜0，∴當m＝＝時，d有最大值，d最大＝＝，∴m2－3m＋＝－3×＋＝－，∴點D的坐標為.