Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A、B、C的坐標分別為(-1，0)，(5，0)，(0，2)．

（1）求過A、B、C三點的拋物線解析式；

（2）若點P從A點出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度向B點移動，連接PC并延長到點E，使CE=PC，將線段PE繞點P順時針旋轉90°得到線段PF，連接FB．若點P運動的時間為t秒(0≤t≤6)，設△PBF的面積為S；

①求S與t的函數關系式；

②當t是多少時，△PBF的面積最大，最大面積是多少？

（3）點P在移動的過程中，△PBF能否成為直角三角形？若能，直接寫出點F的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）;（2）① S△PBF=t2﹣7t+6（0≤t＜1）,S△PBF=﹣t2+7t﹣6（1＜t＜6）；②

當t=3.5時，面積最大，且最大值為6.25;（3）能,F點坐標為：（5， ）或（5，2）．

【解析】分析：（1）因為拋物線過A、B、C三點，所以此三點的坐標使拋物線的解析式成立．（2）①此題要分作兩種情況進行討論：

一、當P點位于原點左側，線段OA上；此時0≤t<1，可用t表示出OP、BP的長，欲求△BPF的面積，關鍵要求出BP邊上的高，可過F作FD⊥x軸于D；由于∠CPF=90°，易證得△OPC∽△DFP，根據已知條件可知PF=PE=2PC，即兩個相似三角形的相似比為2，那么DF=2OP，由此可得到DF的長，以BP為底，DF為高，即可求得△BPF的面積表達式，也就得到了關于S、t的函數關系式；

二、當P點位于原點右側，線段BP上；此時1<t<6，可仿照一的方法進行求解；

②根據①得到的S、t的函數關系式，及相應的自變量的取值范圍，即可根據函數的性質求得S的最大值及對應的t值，然后進行比較即可得到結果．

（3）當P位于線段OA上時，顯然△PFB不可能是直角三角形；由于∠BPF<∠CPF=90°，所以P不可能是直角頂點，可分兩種情況進行討論：

①F為直角頂點，過F作FD⊥x軸于D，由（2）可知BP=6-t，DP=2OC=4，在Rt△OCP中，OP=t-1，由勾股定理易求得CP=t2-2t+5，那么PF==4（t-2t+5）；在Rt△PFB中，FD⊥PB，由射影定理可求得PB=PF÷PD=t-2t+5，而PB的另一個表達式為：PB=6-t，聯立兩式可得t-2t+5=6-t，即t=；

②B為直角頂點，那么此時的情況與（2）題類似，△PFB∽△CPO，且相似比為2，那么BP=2OC=4，即OP=OB-BP=1，此時t=2．

本題解析：（1）（法一）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，2）

三點代入解析式得： ， 解得

∴；

（法二）設拋物線的解析式為y=a（x﹣5）（x+1），

把（0，2）代入解析式得：2=﹣5a，

∴；

∴，

即；

（2）①過點F作FD⊥x軸于D，

當點P在原點左側時，BP=6﹣t，OP=1﹣t；

在Rt△POC中，∠PCO+∠CPO=90°，

∴∠FPD+∠CPO=90°，

∵∠PCO=∠FPD；

∴∠POC=∠FDP，

∴△CPO∽△PFD，

∴

∴PF=PE=2PC，

∴FD=2PO=2（1﹣t）；

∴S△PBF= =t2﹣7t+6（0≤t＜1）；

當點P在原點右側時，OP=t﹣1，BP=6﹣t；

∵△CPO∽△PFD，

∴FD=2（t﹣1）；∴S△PBF= =﹣t2+7t﹣6（1＜t＜6）；

②當0≤t＜1時，S=t2﹣7t+6；

此時t在t=3.5的左側，S隨t的增大而減小，

則有：當t=0時，Smax=0﹣7×0+6=6；

當1＜t＜6時，S=﹣t2+7t﹣6；

由于1＜3.5＜6，故當t=3.5時，Smax=﹣3.5×3.5+7×3.5+6=6.25；

綜上所述，當t=3.5時，面積最大，且最大值為6.25．

（3）能；①若F為直角頂點，過F作FD⊥x軸于D，

由（2）可知BP=6﹣t，DP=2OC=4，

在Rt△OCP中，OP=t﹣1，

由勾股定理易求得CP2=t2﹣2t+5，

那么PF2=（2CP）2=4（t2﹣2t+5）；

在Rt△PFB中，FD⊥PB，

由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2﹣2t+5，

而PB的另一個表達式為：PB=6﹣t，

聯立兩式可得t2﹣2t+5=6﹣t，

即t=，P點坐標為（，0），

則F點坐標為：（5， ）；

②B為直角頂點，那么此時的情況與（2）題類似，△PFB∽△CPO，且相似比為2，

那么BP=2OC=4，即OP=OB﹣BP=1，此時t=2，P點坐標為（1，0）．FD=2（t﹣1）=2，

則F點坐標為（5，2）．