Question

【題目】定義：如圖，若菱形AECF與正方形ABCD兩個頂點A，C重合，另外兩個頂點E，F在正方形ABCD的內部，則稱菱形AECF為正方形ABCD的內含菱形．

若正方形的周長為16，其內含菱形邊長是整數，則內含菱形的周長為________；

若正方形的面積為18，其內含菱形的面積為6，則內含菱形的邊長為________．

Answer 1

【答案】12

【解析】

連接AC，BD，AC、BD交于點O，如圖，由正方形和菱形的性質可得E、F在BD上，且EF⊥AC，易求得OA的長，在Rt△AOE中，由勾股定理可得OA2+OE2＝AE2，由可得，然后即可確定整數AE的長，進而可得菱形的周長；由正方形的面積是18可求出其邊長，進而可求得AC的長，然后即可求出OE的長，進一步根據勾股定理即可求出菱形的邊長．

解：連接AC，BD，AC、BD交于點O，如圖，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BD，

∵四邊形AECF是菱形，∴E、F在BD上，且EF⊥AC，

∵正方形的周長為16，∴AB＝4，

∴2OA2＝AB2，即2OA2＝16，解得：OA＝2，

∴OE＜2，

在Rt△AOE中，∵OA2+OE2＝AE2，∴8+OE2＝AE2，

∵，∴，

∵AE是整數，∴AE＝3，則內含菱形的周長為12；

若正方形的面積為18，∴AB＝3，

∴OA＝3，

∵其內含菱形的面積為6，

∴EF＝2，∴OE=1，

則內含菱形的邊長．

故答案為：12；．