Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙M（半徑為r），給出如下定義：若點P關于點M的對稱點為Q，且r≤PQ≤3r，則稱點P為⊙M的稱心點．

（1）當⊙O的半徑為2時，

①如圖1，在點A（0，1），B（2，0），C（3，4）中，⊙O的稱心點是　 　；

②如圖2，點D在直線yx上，若點D是⊙O的稱心點，求點D的橫坐標m的取值范圍；

（2）⊙T的圓心為T（0，t），半徑為2，直線yx+1與x軸，y軸分別交于點E，F．若線段EF上的所有點都是⊙T的稱心點，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)①點A，B；②m或m；(2) ﹣2≤t≤1或2≤t．

【解析】

（1）①先求出點A，B，C關于點O的對稱點A'，B'，C'進而求出AA'，BB'，CC'，再判斷即可得出結論；
②先求出點D的坐標，再利用新定義建立不等式求解即可得出結論；
（2）先求出點E，F坐標，進而求出∠EFO=60°，進而找出y軸上到線段EF的距離為2時的位置，再分情況利用新定義，即可得出結論．

（1）①∵A（0，1），

∴點A關于點O的對稱點為A'（0，﹣1），

∴AA'＝1﹣（﹣1）＝2，

∵⊙O的半徑為2，

∴點A是⊙O的稱心點，

∵B（2，0），

∴點B關于點O的對稱點為B'（﹣2，0），

∴BB'＝2﹣（﹣2）＝4，

∵⊙O的半徑為2，

∴2＜BB'＜6，

∴點B是⊙O的稱心點，

∵C（3，4），

∴點C關于點O的對稱點為C'（﹣3，﹣4），

∴CC'25＞3r，

∴點C不是⊙O的稱心點，

故答案為：點A，B；

②∵點D在直線yx上，且點D的橫坐標為m，

∴D的坐標為（m，m），

∴點D關于點O的對稱點D'的坐標為（﹣m，m），

∴DD'4|m|，

∵點D是⊙O的稱心點，且⊙O的半徑為2，

∴2≤4|m|≤6，

∴m或m，

∴點D的橫坐標m的取值范圍是m或m；

（2）如圖，

對于直線yx+1，

令x＝0，

∴y＝1，F（0，1），

∴OF＝1，

令y＝0，

∴x+1＝0，

∴x，

∴E（，0），

∴OE，

在Rt△EOF中，tan∠EFO，

∴∠EFO＝60°，

過y軸上一點H作直線EF的垂線交線段EF于G，

∵線段EF上的所有點都是⊙T的稱心點，且⊙T的半徑為2，

∴TG最小＝2，

在Rt△FGT中，sin∠EFO，

∴FH，

∴OH＝FH﹣OF1，

當點T從H向下移動時，GH，FH越來越長，EH越來越短，到點G和E重合之后，GH越來越長，

∵線段EF上的所有點都是⊙T的稱心點，

∴FH＝1﹣t≤3，

∴t≥﹣2，

EH≤3，

∴3，

∴t，

∴﹣2≤t≤1，

當點T從點H向上移動時，點T在FH上時，T到EF的距離小于2，此種情況不符合題意，

當點T從點F向上移動時，ET≥EF，

即：ET≥2，

∵線段EF上的所有點都是⊙T的稱心點，

∴FH≥1，EH≤3，

∴t﹣1≥1，3，

∴2≤t，

且t的取值范圍是﹣2≤t≤1或2≤t．