Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+1交y軸于點A，交x軸正半軸于點B(4，0) ，與過A點的直線相交于另一點D(3，) ，過點D作DC⊥x軸，垂足為C．

（1）求拋物線的表達式；

（2）點P在線段OC上（不與點O，C重合），過P作PN⊥x軸，交直線AD于M，交拋物線于點N，連接CM，求△PCM 面積的最大值；

（3）若P 是x 軸正半軸上的一動點，設OP 的長為t.是否存在t，使以點M，C，D，N 為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）把B（4，0），點D（3， ）代入即可得出拋物線的解析式；

（2）先用含t的代數式表示P、M坐標，再根據三角形的面積公式求出△PCM的面積與t的函數關系式，然后運用配方法可求出△PCM面積的最大值；

（3）若四邊形DCMN為平行四邊形，則有MN=DC，故可得出關于t的二元一次方程，解方程即可得到結論．

試題解析：（1）把點B（4，0），點D（3， ），代入中得， ，解得： ，∴拋物線的表達式為；

（2）設直線AD的解析式為y=kx+b，∵A（0，1），D（3， ），∴，∴，∴直線AD的解析式為，設P（t，0），∴M（t， ），∴PM=，∵CD⊥x軸，∴PC=3﹣t，∴S△PCM=PCPM=（3﹣t）（），∴S△PCM==，∴△PCM面積的最大值是；

（3）∵OP=t，∴點M，N的橫坐標為t，設M（t， ），N（t， ），∴MN== ，CD=，如果以點M、C、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形，∴MN=CD，即=，∵△=﹣39，∴方程=無實數根，∴不存在t，使以點M、C、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形．

（3）∵OP=t，∴點M，N的橫坐標為t，設M（t， ），N（t， ），∴MN== ，CD=；

①如圖1，如果以點M、C、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形，∴MN=CD，即=，∵△=﹣39，∴方程=無實數根，∴不存在t；

②如圖2，如果以點M、C、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形，∴MN=CD，即=，∴t=（負值舍去），∴當t=時，以點M、C、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形．