Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）與x軸交于點A（8，0），與y軸交于點B，在x軸上有一動點E（m，0）（0＜m＜8），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PM⊥AB于點M．

（1）求出拋物線的函數表達式；

（2）設△PMN的面積為S1，△AEN的面積為S2，若S1：S2＝36：25，求m的值；

（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉得到OE′，旋轉角為30°，連接E'A、E'B，在坐標平面內找一點Q，使△AOE′～△BOQ，并求出Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝-x2+x+6；（2）m＝4；（3）Q1（，），Q2（﹣，）．

【解析】

（1）把點A（8，0）代入拋物線解析式求解即得；

（2）易求得直線AB解析式為y＝x+6，再證明△ANE∽△PNM，由相似三角形的性質得，由E（m，0）（0＜m＜8）可得P（m，），N（m，m+6），然后用m的代數式表示出AN和PN，解方程即可；

（3）由題意可求得OQ的長，過點Q作QH⊥y軸于H，然后利用∠BOQ＝∠AOE′＝30°，可求得QH和OH的長，進一步即得結果.

解：（1）把A（8，0）代入y＝ax2﹣6ax+6，得64a﹣48a+6＝0，解得a＝，

∴拋物線的函數表達式為：y＝x2+x+6；

（2）如圖1，在y＝x2+x+6中，令x＝0，得y＝6，∴B（0，6），

設直線AB解析式為y＝kx+b，則，解得，

∴直線AB解析式為y＝x+6

∵PE⊥x軸，PM⊥AB

∴∠AEN＝∠PMN＝90°，

∵∠ANE＝∠PNM，∴△ANE∽△PNM.

∴，，

∵S1：S2＝36：25，

∴，

∴6AN＝5PN

∵E（m，0）（0＜m＜8），∴OE＝m，AE＝8﹣m，

∴P（m，），N（m，m+6），

∴EN＝m+6，PN＝PE﹣EN＝﹣（m+6）＝+3m，

∵AB＝＝10

∴cos∠OAB＝，即，

∴AN＝（8﹣m），

∴6×（8﹣m）＝5×（+3m），解得：m1＝4，m2＝8（不符合題意，舍去），

∴m＝4；

（3）如圖2，∵線段OE繞點O逆時針旋轉得到OE′，旋轉角為30°，

∴OE′＝OE＝4，∠AOE′＝30°

∵△AOE′∽△BOQ，

∴，∠BOQ＝∠AOE′＝30°，

∴，即OQ＝3，

過點Q作QH⊥y軸于H，

∴QH＝OQ＝，OH＝，

∴當點Q在y軸右側時，Q1（，），

當點Q在y軸左側時，Q2（﹣，）．

綜上所述，Q的坐標為：Q1（，），Q2（﹣，）．