Question

【題目】如圖，四邊形是正方形，點為對角線的中點．

（1）問題解決：如圖①，連接，分別取，的中點，，連接，則與的數量關系是_____，位置關系是____；

（2）問題探究：如圖②，是將圖①中的繞點按順時針方向旋轉得到的三角形，連接，點，分別為，的中點，連接，．判斷的形狀，并證明你的結論；

（3）拓展延伸：如圖③，是將圖①中的繞點按逆時針方向旋轉得到的三角形，連接，點，分別為，的中點，連接，．若正方形的邊長為1，求的面積．

Answer 1

【答案】（1），；（2）的形狀是等腰直角三角形，理由見解析；（3）

【解析】

（1）根據題意可得PQ為△BOC的中位線，再根據中位線的性質即可求解；

（2）連接并延長交于點，根據題意證出，為等腰直角三角形，也為等腰直角三角形，由且可得是等腰直角三角形；

（3）延長交邊于點，連接，．證出四邊形是矩形，為等腰直角三角形，，再證出為等腰直角三角形，根據圖形的性質和勾股定理求出O′A，O′B和BQ的長度，即可計算出的面積．

解：（1）∵點P和點Q分別為，的中點，

∴PQ為△BOC的中位線，

∵四邊形是正方形，

∴AC⊥BO，

∴，；

故答案為：，；

（2）的形狀是等腰直角三角形．理由如下：

連接并延長交于點，

由正方形的性質及旋轉可得，∠，

是等腰直角三角形，，．

∴，．

又∵點是的中點，∴．

∴．

∴，．

∴，∴．

∴為等腰直角三角形．

∴，．

∴也為等腰直角三角形．

又∵點為的中點，

∴，且．

∴的形狀是等腰直角三角形．

（3）延長交邊于點，連接，．

∵四邊形是正方形，是對角線，

∴．

由旋轉得，四邊形是矩形，

∴，．

∴為等腰直角三角形．

∵點是的中點，

∴，，．

∴．

∴，．

∴．

∴．

∴為等腰直角三角形．

∵是的中點，

∴，．

∵，

∴，，

∴．

∴．