Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，△AOB為等腰直角三角形，A（4，4）

（1）求B點坐標；

（2）如圖2，若C為x正半軸上一動點，以AC為直角邊作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，連接OD，求∠AOD的度數；

（3）如圖3，過點A作y軸的垂線交y軸于E，F為x軸負半軸上一點，G在EF的延長線上，以EG為直角邊作等腰Rt△EGH，過A作x軸垂線交EH于點M，連FM，等式AM=FM+OF是否成立？若成立，請說明；若不成立，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（8，0）；（2）90°；（3）AM=FM+OF成立，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）作AE⊥OB于E，因為△AOB為等腰直角三角形，A（4，4），則B點坐標可求；

（2）作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，求證△DFC≌△CEA，再根據等量變換，即可求出∠AOD的度數可求；

（3）在AM上截取AN=OF，連EN，易證△EAN≌△EOF，再根據角與角之間的關系，證明△NEM≌△FEM，則有AM-MF=OF，即可求證等式成立．

試題解析：（1）如圖所示，作AE⊥OB于E，

∵A（4，4），

∴OE=4，

∵△AOB為等腰直角三角形，且AE⊥OB，

∴OE=EB=4，

∴OB=8，

∴B（8，0）；

（2）如圖所示，作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，

∵△ACD為等腰直角三角形，

∴AC=DC，∠ACD=90°

即∠ACF+∠DCF=90°，

∵∠FDC+∠DCF=90°，

∴∠ACF=∠FDC，

又∵∠DFC=∠AEC=90°，

∴△DFC≌△CEA（AAS），

∴EC=DF，FC=AE，

∵A（4，4），

∴AE=OE=4，

∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，

∴OF=CE，

∴OF=DF，

∴∠DOF=45°，

∵△AOB為等腰直角三角形，

∴∠AOB=45°，

∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°；

（3）AM=FM+OF成立，理由：

如圖所示，在AM上截取AN=OF，連EN．

∵A（4，4），

∴AE=OE=4，

又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF，

∴△EAN≌△EOF（SAS），

∴∠OEF=∠AEN，EF=EN，

又∵△EGH為等腰直角三角形，

∴∠GEH=45°，即∠OEF+∠OEM=45°，

∴∠AEN+∠OEM=45°

又∵∠AEO=90°，

∴∠NEM=45°=∠FEM，

又∵EM=EM，

∴△NEM≌△FEM（SAS），

∴MN=MF，

∴AM﹣MF=AM﹣MN=AN，

∴AM﹣MF=OF，

即AM=FM+OF.