Question

【題目】如圖所示,AD∥BC,∠BAD=90°,以B為圓心,BC長為半徑畫弧,與射線AD相交于點E,連接BE,過C作CF⊥BE于點F.

(1)線段BF與圖中哪條線段相等?寫出來并加以證明;

（2）若AB=12,BC=13,P從E沿ED方向運動,Q從C出發向B運動,兩點同時出發且速度均為每秒1個單位

①當 秒時,四邊形EPCQ是矩形

②當 秒時,四邊形EPCQ是菱形

Answer 1

【答案】BF=AE，證明見解析；(2)①8②13

【解析】試題分析：

（1）由已知條件易得BE=BC，∠A=∠BFC=90°，再證∠ABE=∠FCB，即可得到△ABE≌△FCB，從而可得BF=AE；

（2）①如圖1，由已知易得四邊形EPCQ是平行四邊形，故當EQ⊥BC時，四邊形EPCQ是矩形，在Rt△AEQ中由勾股定理易得BQ=5，從而可得CQ=8，由此即可得到點Q的運動時間了；

②同①可知，四邊形EPCQ是平行四邊形，由此可知當QE=PE時，四邊形EPCQ是菱形，過點E作EH⊥BC于點H，在Rt△EQH中由勾股定理結合已知條件即可求出運動時間x.

試題解析：

(1)BF=AE.理由如下:

由題可知∠A=∠BFC=90°,BC=BE

∵AD∥BC,∴∠AEB=∠FBC.

∴△ABE≌△FCB.

∴AE=BF

(2)①如圖1，當EQ⊥BC時，四邊形EPCQ是矩形，

此時在Rt△AEQ中，∵∠BQE=90°，BE=BC=13，QE=AB=12，

∴由勾股定理可得：BQ=5，

∴CQ=BC-BQ=13-5=8，

∴當第8秒時，四邊形EPCQ是矩形；

②如圖2，設運動時間為x秒，由題意可得四邊形EPCQ是平行四邊形，故當QE=PE=x時，四邊形EPCQ是菱形，過點E作EH⊥BC于點H，由①可知，BH=AE=5，EH=AB=12，

∴CH=BC-BH=13-5=8，則QH=CQ-CH=x-8，

∴在Rt△EQH中由勾股定理可得： ，解得： ，

即當運動13秒時，四邊形EPCQ是菱形.