Question

【題目】“8字”的性質及應用：

（1）如圖①，AD、BC相交于點O，得到一個“8字”ABCD，求證：∠A+∠B＝∠C+∠D．

（2）圖②中共有多少個“8字”？

（3）如圖②，∠ABC和∠ADC的平分線相交于點E，利用（1）中的結論證明∠E＝（∠A+∠C）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據三角形內角和定理和對頂角相等解答即可；
（2）根據題中給出的“8字”的概念解答即可；
（3）根據角平分線的定義和三角形的外角的性質解答即可．

（1）證明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，

又∠AOB＝∠COD，

∴∠A+∠B＝∠C+∠D；

（2）解：圖②中有：ABCD、BECD、ABED，3個“8字”；

（3）證明：∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，

∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠CDE＝∠ADE＝∠ADC，

∵∠A+∠ABE＝∠E+∠ADE，∠C+∠CDE＝∠E+∠CBE，

∴∠E＝（∠A+∠C）．