Question

【題目】在等邊△ABC的外側作直線BM，點A關于直線BM的對稱點為D，連結AD，CD，設CD交直線BM于點E．

（1）依題意補全圖1，若∠ABM=30°，求∠BCE的度數；
（2）如圖2，若60°＜∠ABM＜90°，判斷直線BM和CD相交所成的銳角的度數是否為定值？若是，求出這個銳角的度數；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：補全的圖1如下所示：

連接BD，如上圖1所示，

∵由已知可得，BM垂直平分AD，∠ABM=30°，△ABC是等邊三角形，

∴△BDA是等邊三角形，AD∥BC且AD=BC，DA=DB，

∴四邊形ADBC是菱形，

∵∠ACB=60°，

∴∠BCE=30°；

（2）解：直線BM和CD相交所成的銳角的度數是定值，如下圖所示，

連接AE交BC于點F，

由已知可得，BD=BA，BA=BC，ED=EA，

則∠BDA=∠BAD，∠EDA=∠EAD，BD=BC，

∴∠BDC=∠BCD，∠EDB=∠EAB，

∴∠BCD=∠EAB，

∵∠EFC=∠BFA，∠ABC=60°，

∴∠CEA=∠ABC=60°，

∵∠AEC+∠AEM+∠DEM=180°，∠DEM=∠AEM，

∴∠DEM=60°，

即直線BM和CD相交所成的銳角的度數是定值，這個銳角的度數是60°．

【解析】（1）連接BD，由作圖知:BM垂直平分AD根據中垂線定理及等腰三角形的三線合一得出△BDA是等邊三角形，由△ABC是等邊三角形，故AD∥BC且AD=BC，DA=DB，從而判斷出四邊形ADBC是菱形，根據菱形的每條對角線平分一組對角得出答案；
（2）直線BM和CD相交所成的銳角的度數是定值，連接AE交BC于點F，根據等邊對等角及等量代換得出∠BDA=∠BAD，∠EDA=∠EAD，BD=BC，從而得出∠BDC=∠BCD，∠EDB=∠EAB，根據等量代換得出∠BCD=∠EAB，又由∠AEC+∠AEM+∠DEM=180°，∠DEM=∠AEM，∠CEA=∠ABC=60°，從而得出∠DEM=60°，即直線BM和CD相交所成的銳角的度數是定值，這個銳角的度數是60°．
【考點精析】關于本題考查的角的運算和線段垂直平分線的性質，需要了解角之間可以進行加減運算；一個角可以用其他角的和或差來表示；垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等才能得出正確答案．