Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AC繞點C順時針旋轉60°至CD，F是CD的中點，連接BF交AC于點E，連接AD．

求證：（1）AC=BF；

（2）四邊形ABFD是平行四邊形．

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

（1）連接AF，由旋轉的旋轉得到AC=DC，∠ACD=60°，進而△ACD是等邊三角形，再證四邊形ADCF是矩形，根據矩形的對角線相等即可得到AC=BF．

（2）根據△ACD是等邊三角形，得到AC=AD，進一步證明AD=BF，再證明AB=DF，即可得到四邊形ABFD是平行四邊形．

（1）如圖，連接AF．

∵AC繞點C順時針旋轉60°至CD，∴AC=DC，∠ACD=60°，∴△ACD是等邊三角形．

∵F是CD的中點，∴AF⊥CD，∴∠AFC=90°．

∵在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠ACD=30°．

∵∠ACD=60°，∴∠BCD=90°．

又∵∠ADC=90°，∴四邊形ADCF是矩形，∴AC=BF．

（2）∵△ACD是等邊三角形，∴AC=AD．

∵AC=BF，∴AD=BF．

∵四邊形ABCF是矩形，∴AB=CF．

∵F是CD的中點，∴DF=CF，∴AB=DF，∴四邊形ABFD是平行四邊形．