Question

【題目】在銳角中，，，，將繞點按逆時針方向旋轉，得到．

（1）如圖1，當點在線段的延長線上時，求的度數；

（2）如圖2，連接，．若的面積為4，求的面積；

（3）如圖3，點為線段中點，點是線段上的動點，在繞點按逆時針方向旋轉過程中，點的對應點是點，求線段長度的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）先根據旋轉的性質得出，，再根據等腰三角形的性質可得，然后根據角的和差即可得；

（2）先根據旋轉的性質得出，從而可得，再根據角的和差可得，然后根據相似三角形的判定定理得出，最后根據相似三角形的性質求解即可得；

（3）先根據旋轉的性質確認點的運動軌跡，再根據點與圓的位置關系、垂線段最短確認最小時，點的位置，然后根據正弦三角函數值、線段的和差求解即可．

（1）由旋轉的性質得，

∴

∴

故的度數為；

（2）由旋轉的性質得

∴，，

∴，

∴

∴

∴

∵

∴

故的面積為；

（3）如圖，在繞點按逆時針方向旋轉過程中，點的運動軌跡在以點B為圓心，BP為半徑的圓上

由點與圓的關系可知：當點在BA（或BA的延長線）與圓B的交點處，取得最小值，最小值為

因此，取得最小值時，長度也最小

由垂線段最短得：點P在AC上運動過程中，當時，BP取得最小值，最小值為

則所求的線段長度的最小值為．