Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C，且OC=2OA．

（1）試求拋物線的解析式；

（2）直線y=kx+1（k＞0）與y軸交于點D，與拋物線交于點P，與直線BC交于點M，記m=，試求m的最大值及此時點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，點Q是x軸上的一個動點，點N是坐標平面內的一點，是否存在這樣的點Q、N，使得以P、D、Q、N四點組成的四邊形是矩形？如果存在，請求出點N的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x+2）（x﹣4）或y=﹣x2+x+4或y=﹣（x﹣1）2+．（2）最大值為，此時P（2，4）．（3）（，3）或（6，﹣3）．

【解析】試題分析：（1）設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣4），根據已知條件求得點C的坐標代入解析式求得a值，即可得拋物線的解析式；（2）作PE⊥x軸于E，交BC于F，易證△CMD∽△FMP，根據相似三角形的性質可得m=，設P（n，﹣n2+n+4），則F（n，﹣n+4），用n表示出PF的長，從而得到m、n的二次函數關系式，利用二次函數的性質解決問題即可；（3）存在這樣的點Q、N，使得以P、D、Q、N四點組成的四邊形是矩形，分DP是矩形的邊和DP是矩形的對角線兩種情況求點N的坐標.

試題解析：

（1）因為拋物線y=ax2+bx+c經過A（﹣2，0）、B（4，0）兩點，設y=a（x+2）（x﹣4），

∵OC=2OA，OA=2，

∴C（0，4），代入拋物線的解析式得到a=﹣，

∴y=﹣（x+2）（x﹣4）或y=﹣x2+x+4或y=﹣（x﹣1）2+．

（2）如圖1中，作PE⊥x軸于E，交BC于F．

∵CD∥PE，

∴△CMD∽△FMP，

∴m==，

∵直線y=kx+1（k＞0）與y軸交于點D，則D（0，1），

∵BC的解析式為y=﹣x+4，

設P（n，﹣n2+n+4），則F（n，﹣n+4），

∴PF=﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）=﹣（n﹣2）2+2，

∴m==﹣（n﹣2）2+，

∵﹣＜0，

∴當n=2時，m有最大值，最大值為，此時P（2，4）．

（3）存在這樣的點Q、N，使得以P、D、Q、N四點組成的四邊形是矩形．

①當DP是矩形的邊時，有兩種情形，

a、如圖2﹣1中，四邊形DQNP是矩形時，

有（2）可知P（2，4），代入y=kx+1中，得到k=，

∴直線DP的解析式為y=x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），

由△DOE∽△QOD可得=，

∴OD2=OEOQ，

∴1=OQ，

∴OQ=，

∴Q（，0）．

根據矩形的性質，將點P向右平移個單位，向下平移1個單位得到點N，

∴N（2+，4﹣1），即N（，3）

b、如圖2﹣2中，四邊形PDNQ是矩形時，

∵直線PD的解析式為y=x+1，PQ⊥PD，

∴直線PQ的解析式為y=﹣x+，

∴Q（8，0），

根據矩形的性質可知，將點D向右平移6個單位，向下平移4個單位得到點N，

∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．

②當DP是對角線時，設Q（x，0），則QD2=x2+1，QP2=（x﹣2）2+42，PD2=13，

∵Q是直角頂點，

∴QD2+QP2=PD2，

∴x2+1+（x﹣2）2+16=13，

整理得x2﹣2x+4=0，方程無解，此種情形不存在，

綜上所述，滿足條件的點N坐標為（，3）或（6，﹣3）．