Question

【題目】數學活動——探究特殊的平行四邊形．

問題情境

如圖，在四邊形ABCD中，AC為對角線，AB=AD，BC=DC．請你添加條件，使它們成為特殊的平行四邊形．

提出問題

（1）第一小組添加的條件是“AB∥CD”，則四邊形ABCD是菱形．請你證明；

（2）第二小組添加的條件是“∠B=90°,∠BCD=90°”，則四邊形ABCD是正方形．請你證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析證明；（2）見解析證明．

【解析】

試題分析：（1）根據SSS可判定△ABC≌△ADC，根據全等三角形對應角相等和兩直線平行內錯角相等可得∠BAC=∠DCA=∠BCA=∠DAC，根據等角對等邊可得AB=BC=CD=DA，即得結論；（2）由△ABC≌△ADC得∠D =∠B=90°，又∠BCD=90°，可判定四邊形BCD是矩形，又因BC=DC，即可得出結論．

試題解析：（1）∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，又∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，∴∠BAC=∠DCA=∠BCA=∠DAC，∴AB=BC，DA=DC，又∵AB=AD，∴AB=BC=CD=DA，∴四邊形ABCD是菱形；

（2）∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠D =∠B，∵∠B=90°，∴∠D =∠B=90°，又∵∠BCD=90°，∴四邊形ABCD是矩形，又∵BC=DC，∴矩形ABCD是正方形．