Question

【題目】如圖，已知：在Rt△ABC中，斜邊AB=10，sinA= ，點P為邊AB上一動點（不與A，B重合），PQ平分∠CPB交邊BC于點Q，QM⊥AB于M，QN⊥CP于N．

（1）當AP=CP時，求QP；
（2）若四邊形PMQN為菱形，求CQ；
（3）探究：AP為何值時，四邊形PMQN與△BPQ的面積相等？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AB=10，sinA= ，

∴BC=8，

則AC= =6，

∵PA=PC．

∴∠PAC=∠PCA，

∵PQ平分∠CPB，

∴∠BPC=2∠BPQ=2∠A，

∴∠BPQ=∠A，

∴PQ∥AC，

∴PQ⊥BC，又PQ平分∠CPB，

∴∠PCQ=∠PBQ，

∴PB=PC，

∴P是AB的中點，

∴PQ= AC=3；

（2）

解：∵四邊形PMQN為菱形，

∴MQ∥PC，

∴∠APC=90°，

∴ ×AB×CP= ×AC×BC，

則PC=4.8，

由勾股定理得，PB=6.4，

∵MQ∥PC，

∴ = = = ，即 = ，

解得，CQ= ；

（3）

解：∵PQ平分∠CPB，QM⊥AB，QN⊥CP，

∴QM=QN，PM=PN，

∴S△PMQ=S△PNQ，

∵四邊形PMQN與△BPQ的面積相等，

∴PB=2PM，

∴QM是線段PB的垂直平分線，

∴∠B=∠BPQ，

∴∠B=∠CPQ，

∴△CPQ∽△CBP，

∴ = = ，

∴ = ，

∴CP=4× =4× =5，

∴CQ= ，

∴BQ=8﹣ = ，

∴BM= × = ，

∴AP=AB﹣PB=AB﹣2BM= ．

【解析】（1）根據正弦的概念求出BC，根據勾股定理求出AC，根據三角形中位線定理計算即可；（2）根據菱形的性質得到MQ∥PC，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可；（3）根據角平分線的性質得到QM=QN，PM=PN，根據題意得到PB=2PM，得到QM是線段PB的垂直平分線，根據垂直平分線的性質、相似三角形的判定定理解答．
【考點精析】本題主要考查了角平分線的性質定理的相關知識點，需要掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上才能正確解答此題．