Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的圓O交BC于點D，交AC于點E，過點D作DF⊥AC于點F，交AB的延長線于點G．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）已知BD＝，CF＝2，求DF和BG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DF=4，BG＝

【解析】

（1）連接OD，根據圓周角定理得到AD⊥BC，結合等腰三角形的性質知BD＝CD，再根據OA＝OB知OD∥AC，從而由DF⊥AC可得OD⊥DF，即可得證；

（2）連接BE．BE∥DF，可得DF是△BEC的中位線，設AE＝x，則AC＝AB＝x+4，根據勾股定理列方程可得x的值，證明△GOD∽△GAF，列比例式可得BG的長．

（1）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

連接OD，

∵∠ADB＝90°，即AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD，

又∵OA＝OB，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴DF是圓O的切線；

（2）連接BE．

∵CD＝BD＝2，

∵CF＝2，

∴，

∵AB是直徑，

∴∠AEB＝∠CEB＝90°，

∴BE⊥AC，

∵DF⊥AC，

∴DF∥BE，

∴EF＝FC＝2，

∴BE＝2DF＝8，

設AE＝x，則AC＝AB＝x+4

由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2，

（x+4）2＝82+x2，

x＝6，

∴AE＝6，AB＝4+6＝10，

∵OD∥AF，

∴△GOD∽△GAF，

∴，

∴，

∴BG＝．