Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC，垂足為F，連接DF，下列四個結論：①△AEF∽△CAB ；②；③DF=DC； ④CF=2AF．

其中正確的結論是________________（填番號）．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】分析：只要證明∠EAC=∠ACB, 即可判斷①正誤；由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出AE和CF的關系即可判斷④正誤；只要證明DM垂直平分CF，即可證明③；設AE=a，AB=b，則AD=2a，由△BAE∽△ADC,求出a和b的關系，可得tan∠CAD的值即可判斷④的正誤，于是得到四個結論中正確結論．

詳解：如圖,過D作DM∥BE交AC于N，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC,

∵BE⊥AC于點F，

∴∠EAC=∠ACB,

∴△AEF∽△CAB，故①正確；

∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴

∵

∴

∴CF=2AF，故④正確；

∵DE∥BM,BE∥DM，

∴四邊形BMDE是平行四邊形，

∴

∴BM=CM，

∴CN=NF，

∵BE⊥AC于點F,DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DM垂直平分CF，

∴DF=DC，故③正確；

設AE=a，AB=b，則AD=2a，

由△BAE∽△ADC,有,即

∴ 故②不正確；

正確的有①③④，

故答案為：①③④.