Question

某精品水果超市銷售一種進口水果A，從去年1至7月，這種水果的進價一路攀升，每千克A的進價y₁與月份x（1≤x≤7，且x為整數），之間的函數關系式如下表：

月份x	1	2	3	4	5	6	7
y1（元/千克）	50	60	70	80	90	100	110

隨著我國對一些國家進出口關稅的調整，該水果的進價漲勢趨緩，在8至12月份每千克水果A的進價y₂與月份x（8≤x≤12，且x為整數）之間存在如下圖所示的變化趨勢．
（1）請觀察表格和圖象，用所學過的一次函數、反比例函數、二次函數的有關知識分別寫出y₁與x和y₂與x的函數關系式．
（2）若去年該水果的售價為每千克180元，且銷售該水果每月必須支出（除進價外）的固定支出為300元，已知該水果在1月至7月的銷量p₁（千克）與月份x滿足：p₁=10x+80；8月至12月的銷量p₂（千克）與月份x滿足：p₂=-10x+250；則該水果在第幾月銷售時，可使該月所獲得的利潤最大？并求出此時的最大利潤．
（3）今年1月到6月，該進口水果的進價進行調整，每月進價均比去年12月的進價上漲15元，且每月的固定支出（除進價外）增加了15%，已知該進口水果的售價在去年的基礎上提高了a%（a＜100），與此同時每月的銷量均在去年12月的基礎上減少了0.2a%，這樣銷售下去要使今年1至6月的總利潤為68130元，試求出a的值．（保留兩個有效數字）（參考數據：23²=529，24²=576，25²=625，26²=676）

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法分別將（1，50），（2，60）和（8，15）（12，135）分別代入得出解析式即可；
（2）根據所獲得的利潤=銷售數量×（售價-進價），就可以表示出銷售利潤與月份之間的函數關系式進而求出最值即可；
（3）利用上年12月份的進價，固定支出以及銷量表示出今年的進價，固定支出以及銷量即可得出關于1至6月的總利潤的方程，進而求出a即可．

解答：解：（1）由表格可知，y₁是x的一次函數．
設y₁=k₁x+b₁（k₁≠0）．
將（1，50），（2，60）分別代入得：

k1+b1=50 2k1+b1=60.

解這個方程組得  

k1=10 b1=40.

∴y₁=10x+40．
經驗證其余各組值也均滿足此函數關系式．
∴y₁=10x+40．
設y₂=k₂x+b₂（k₂≠0）．
將坐標（8，15）（12，135）分別代入得：

8k2+b2=115 12k2+b2=135

解得：

k2=5 b2=75

，
故y₂=5x+75．

（2）設：利潤為W元．
當1≤x≤7時，
W₁=（180-10x-40）•（10x+80）-300，
=（-10x+140）（10x+800）-300，
=-100x ²+600x+10900，
-

b

2a

=-

600

-200

=3．
∴當x=3時，W₁有最大值，W_1大=11800．
當8≤x≤12時，
W₂=（180-5x-75）（-10x+250）-300
=（-5x+105）（-10x+250）-300
=50x²-2300x+25950．
∵-

b

2a

=-

-2300

100

=23，又x＜23，
∴W₂隨x增大而減小，∴x=8時，W₂有最大值，
W_2大=10750．
∵W_1大＞W_2大
∴在第3月時，可獲最大利潤11800．

（3）根據題意可得出：6×[180（1+a%）-（5×12+75+15）]•（-10×12+250）（1-0.2a%）-6×300（1+15%）=68130．
令a%=t，原方程化為[6（1+t）-5]（1-

1

5

t）-3=0．
整理得    6t²-29t+10=0．∴t=

29± 601

12

≈

29±25

12

．
則t1=

4

12

=

1

3

≈33.3%，t2=

54

12

=450%．
∴a₁≈33，a₂=450（舍）．
∴a=33．
即：a的值為33．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合試題以及待定系數法求反比例函數的解析式和一次函數的解析式，根據一次函數的解析式和二次函數的解析式求最值的運用及一元二次方程的解法及運用．