Question

【題目】如圖，點是矩形中邊上一點，沿折疊為，點落在上．

（1）求證：；

（2）若，求的值；

（3）設，是否存在的值，使與相似？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）；（3）存在，時，與相似

【解析】

(1)由矩形的性質可知∠A=∠D=90°，由等角的余角相等可得出∠ABF=∠DFE，進而可證出△ABF∽△DFE；
(2)設設，，，利用折疊的性質可得出，，，，利用相似三角形的性質可得出，再結合正切的定義即可求出的值；

(3)分當時和當時兩種情況討論即可得出答案.

（1）證明：∵四邊形是矩形，

∴，

∵沿折疊為，

∴，

∴，

又∵，

∴．

∴；

（2）解：在中，，

∴設，，，

∵沿折疊為，

∴，，，，

又∵，

∴，

∴，

；

（3）存在，時，與相似

理由：當時，．

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴；

②當時，，∵，∴，這與相矛盾，

∴不成立．

綜上所述，時，與相似．