Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象經過、、三點．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）若點M是該二次函數圖象上的一點，且滿足，求點M的坐標；

（3）點P是該二次函數圖象上位于一象限上的一動點，連接PA分別交BC，y軸與點E、F，若、的面積分別為、，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）

（2）或（－5，－18）

（3）

【解析】

（1）已知三點坐標，代入二次函數解析式，得三元一次方程組，可求得二次函數解析式.

（2）已知二次函數解析式，可求得B點坐標為（4，0）當點M在x軸上方時，過C作CM∥AB交拋物線于點M，四邊形ABMC為等腰梯形，可求得滿足條件的M點坐標.如果M點在x軸下方，先求出直線AC和直線BM的解析式，直線BM的解析式和拋物線的交點即為M點，聯立方程求解.

（3）過點P作PH∥y軸交直線BC于點H，可設出P點坐標，從而可表示出PH的長，可表示出△PEB的面積，進一步可表示出直線AP的解析式，可求得F點的坐標，聯立直線BC和PA的解析式，可表示出E點橫坐標，從而可表示出△CEF的面積，再利用二次函數的性質可求得S2-S1的最小值．

（1）已知二次函數的圖象經過、、三點

則

得

二次函數解析式為：

（２）當點M在x軸上方時，過C作CM∥AB交拋物線于點M，如圖1

∵A、B關于對稱軸對稱，CM關于對稱軸對稱
∴四邊形ABMC為等腰梯形

∴∠CAO=∠MBA，即點M滿足條件

∴M(3，2)

當點M在x軸下方時

∵∠MBA=∠CAO

∴BM∥AC
∵C(0，2)，

∴可設直線AC解析式為y=kx+2，把A(1，0)代入可求得k=2，

∴直線AC解析式為y=2x+2，

∴可設直線BM解析式為y=2x+m，把B(4，0)代入可求得m=8，

∴直線BM解析式為y=2x8，

聯立直線BM和拋物線解析式可得解得或

∴M(5，18)
綜上可知滿足條件的點M的坐標為(3，2)或(5，18)；

（3）

過點P作PH∥y軸交直線BC于點H，如圖2，

設

由B、C兩點的坐標可求得直線BC的解析式為y=x+2

∴H(t，t+2)

∴PH=yPyH=(t+2)=

設直線AP的解析式為y=px+q

∴

解得

∴直線AP的解析式為，令x=0可得

∴F(0，)，

∴CF=2（）=

聯立直線AP和直線BC解析式可得

解得x=，即E點的橫坐標為

當時，S2-S1的最小值為-