Question

將一矩形紙片OABC放在直角坐標系中，O為原點，C在x軸上，OA=6，OC=10．
（1）如圖（1），在OA上取一點E，將△EOC沿EC折疊，使O點落在AB邊上的D點，求E點的坐標；
（2）如圖（2），在OA、OC邊上選取適當的點E′、F，將△E′OF沿E′F折疊，使O點落在AB邊上的D′點，過D′作D′G∥A′O交E′F于T點，交OC′于G點，求證：TG=A′E′．
（3）在（2）的條件下，設T（x，y）①探求：y與x之間的函數關系式．②指出變量x的取值范圍．
（4）如圖（3），如果將矩形OABC變為平行四邊形OA“B“C“，使O C“=10，O C“邊上的高等于6，其它條件均不變，探求：這時T（x，y）的坐標y與x之間是否仍然滿足（3）中所得的函數關系，若滿足，請說明理由；若不滿足，寫出你認為正確的函數關系式．

Answer 1

解：（1）方法1：設OE=m或E（0，m），則AE=6-m，OE=m，CD=10
由勾股定理得BD=8，則AD=2．
在△ADE中由勾股定理得（6-m）²+2²=m²，
解得m=，
∴點E的坐標為（0，）
方法2：設OE=m或E（0，m），則AE=6-m，OE=m，CD=10．
由勾股定理得BD=8，則AD=2．
由∠EDC=∠EAD=90°，得∠AED=∠CDB，△ADE∽△BCD．
故，
解得m=，
∴點E的坐標為（0，）．

（2）連接OD′交E'F于P，由折疊可知E'F垂直平分OD'即OP=PD'，
由OE'∥D'G，從而得出OE'=D'T．
從而AE'=TG．

（3）①
連接OT，OD′，交FE′于點P，
由（2）可得OT=D'T，
由勾股定理可得x²+y²=（6-y）²，
得y=-x²+3．
②結合（1）可得AD'=OG=2時，x最小，從而x≥2，
當E'F恰好平分∠OAB時，AD'最大即x最大，
此時G點與F點重合，四邊形AOFD'為正方形，
故x最大為6．
從而x≤6，2≤x≤6．

（4）y與x之間仍然滿足（3）中所得的函數關系式．
理由：連接OT'仍然可得OT'=D''T'，
由勾股定理可得，
即x²+y²=（6-y）²．
從而（3）中所得的函數關系式仍然成立．
分析：（1）根據折疊的性質可得出DE=OE，OC=CD，如果設出E點的坐標，可用E的縱坐標表示出AE，ED的長，可根據相似三角形ADE和CDB得出的關于AE、BC、AD、BD的比例關系式求出E點的縱坐標．也就求出了E的坐標；
（2）本題可通過證D′T=OE′來求出，如果連接OD′，那么E′F必垂直平分OD′，如果設OD′與E′F的交點為P，那么OP=D′P，△OE′P≌△D′PT，可得D′T=OE′．由此可證得A′E′=TG．
（3）可先根據T的坐標表示出A′D′，A′E′，然后可在直角三角形A′D′E′中表示出D′E′，而D′E′又可用A′O-A′E′表示．可以此來求出y，x的函數關系式．
在（1）中給出的情況就是x的最小值的狀況，可根據AD的長求出x的最小值，當x取最大值時，E′F平分∠OAB，即E′與A′重合，四邊形E′OGD為正方形，可據此求出此時x的值．有了x的最大和最小取值即可求出x的取值范圍．
（4）（2）（3）得出的結論均成立，證法同上．
點評：本題考查了二次函數的應用、圖形翻折變換、三角形全等、勾股定理、平行四邊形和矩形的性質等知識點，綜合性強，考查學生數形結合的數學思想方法．