Question

【題目】如圖，已知在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 是邊 AB 上的中點，DE 平分∠CDB，且 DE=AC．

（1）求證：CE=AD；

（2）如果AC=BC，求證：四邊形BECD 是正方形．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

（1）先證明AC∥DE，再由一組對邊平行且相等即可證明四邊形ACED是平行四邊形，從而證明CE=AD；

（2）先證明四邊形CDBE是菱形，再由等腰三角形三線合一的性質證明CD⊥BD，從而證明四邊形BECD 是正方形．

（1）證明：∵∠ACB=90°，D 是邊 AB 上的中點，

∴CD=AD=BD

∴∠ACD=∠A，

∴∠CDB=∠ACD+∠A=2∠A，

∵DE平分∠CDB

∴∠BDE=，

∴∠A=∠BDE，

∴AC∥DE，

又∵DE=AC，

∴四邊形ACED是平行四邊形，

∴CE=AD

（2）證明：由（1）可得，四邊形ACED是平行四邊形，

∴CE∥AD，CE=AD，

∵AD=BD=CD

∴CE=BD=CD

∴四邊形CDBE是菱形，

又∵AC=BC，點D是AB中點，

∴CD⊥BD

∴菱形CDBE是正方形．