Question

【題目】如圖所示AB為⊙O的一條弦，點C為劣弧AB的中點，E為優弧AB上一點，點F在AE的延長線上，且BE=EF，線段CE交弦AB于點D．

（1）求證：CE∥BF；

（2）若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：，求△BCD的面積（注：根據圓的對稱性可知OC⊥AB）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2.

【解析】分析：（1）連接AC，BE，由等腰三角形的性質和三角形的外角性質得出∠F=∠AEB，由圓周角定理得出∠AEC=∠BEC，證出∠AEC=∠F，即可得出結論；
（2）證明△ADE∽△CBE，得出，證明△CBE∽△CDB，得出，求出CB=，得出AD=6，AB=8，由垂徑定理得出OC⊥AB，AG=BG=AB=4，由勾股定理求出CG= =2，即可得出△BCD的面積．

詳解：（1）證明：連接AC，BE，作直線OC交AB于G，如圖所示：

∵BE=EF，

∴∠F=∠EBF；

∵∠AEB=∠EBF+∠F，

∴∠F=∠AEB，

∵C是的中點，∴，

∴∠AEC=∠BEC，

∵∠AEB=∠AEC+∠BEC，

∴∠AEC=∠AEB，

∴∠AEC=∠F，

∴CE∥BF；

（2）解：∵∠DAE=∠DCB，∠AED=∠CEB，

∴△ADE∽△CBE，

∴，即，

∵∠CBD=∠CEB，∠BCD=∠ECB，

∴△CBE∽△CDB，

∴，即，

∴CB=，

∴AD=6，

∴AB=8，

∵點C為劣弧AB的中點，

∴OC⊥AB，AG=BG=AB=4，

∴CG==2，

∴△BCD的面積=BDCG=×2×2=2．