Question

【題目】如圖，二次函數y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A，B兩點，B點坐標為(4,0)，與y軸交于點C(0,4).點D為拋物線上一點

(1)求拋物線的解析式及A點坐標；

(2)若△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時，求點D的坐標；

(3)若△BCD是銳角三角形,請直接寫出點D的橫坐標m的取值范圍 .

Answer 1

【答案】(1)y=x2-5x+4, A(1,0)；(2)(6,10)或(2,-2)；(3)3+＜m ＜6或 3-＜m ＜2

【解析】

（1）利用待定系數法求拋物線的解析式，再令y=0，求A的坐標；

（2）設D點橫坐標為a，代入函數解析式可得縱坐標，分別討論∠BCD=90°和∠CBD=90°的情況，作出圖形進行求解；

（3）當BC為斜邊構成Rt△BCD時，以BC中點O'為圓心，以BC為直徑畫圓，與拋物線交于D和D'，此時△BCD和△BCD'就是以BC為斜邊的直角三角形，利用兩點間距離公式列出方程求解，然后結合（2）找到m的取值范圍.

（1）將B（4,0），C（0,4）代入y=x2+bx+c得，

，解得，

所以拋物線的解析式為，

令y=0，得，解得，，

∴A點的坐標為（1,0）

（2）設D點橫坐標為，則縱坐標為，

①當∠BCD=90°時，如下圖所示，連接BC，過C點作CD⊥BC與拋物線交于點D，過D作DE⊥y軸與點E，

由B、C坐標可知，OB=OC=4，

∴△OBC為等腰直角三角形，

∴∠OCB=∠OBC=45°，

又∵∠BCD=90°，

∴∠ECD+∠OCB=90°

∴∠ECD=45°，

∴△CDE為等腰直角三角形，

∴DE=CE=a

∴OE=OC+CE=a+4

由D、E縱坐標相等，可得，

解得，，

當時，D點坐標為（0,4），與C重合，不符合題意，舍去.

當時，D點坐標為（6,10）；

②當∠CBD=90°時，如下圖所示，連接BC，過B點作BD⊥BC與拋物線交于點D，過B作FG⊥x軸，再過C作CF⊥FG于F，過D作DG⊥FG于G，

∵∠COB=∠OBF=∠BFC=90°，

∴四邊形OBFC為矩形，

又∵OC=OB，

∴四邊形OBFC為正方形，

∴∠CBF=45°

∵∠CBD=90°，

∴∠CBF+∠DBG=90°，

∴∠DBG=45°，

∴△DBG為等腰直角三角形，

∴DG=BG

∵D點橫坐標為a，

∴DG=4-a，

而BG=

∴

解得，，

當時，D點坐標為（4,0），與B重合，不符合題意，舍去.

當時，D點坐標為（2,-2）；

綜上所述，D點坐標為(6,10)或(2,-2).

（3）當BC為斜邊構成Rt△BCD時，如下圖所示，以BC中點O'為圓心，以BC為直徑畫圓，與拋物線交于D和D'，

∵BC為圓O'的直徑，

∴∠BDC=∠BD'C=90°，

∵，

∴D到O'的距離為圓O'的半徑，

∵D點橫坐標為m，縱坐標為，O'點坐標為（2,2），

∴

即

化簡得：

由圖像易得m=0或4為方程的解，則方程左邊必有因式，

∴采用因式分解法進行降次解方程

或或，

解得，，，

當時，D點坐標為（0,4），與C點重合，舍去；

當時，D點坐標為（4,0），與B點重合，舍去；

當時，D點橫坐標；

當時，D點橫坐標為；

結合（2）中△BCD形成直角三角形的情況，

可得△BCD為銳角三角形時，D點橫坐標m的取值范圍為3+＜m ＜6或 3-＜m ＜2.