Question

【題目】某網店專售一款電動牙刷，其成本為20元/支，銷售中發現，該商品每天的銷售量y（支）與銷售單價x（元/支）之間存在如圖所示的關系．

（1）請求出y與x的函數關系式；

（2）該款電動牙刷銷售單價定為多少元時，每天銷售利潤最大？最大利潤是多少元？

（3）近期武漢爆發了“新型冠狀病毒”疫情，該網店店主決定從每天獲得的利潤中抽出 200 元捐贈給武漢，為了保證捐款后每天剩余利潤不低于550元，如何確定該款電動牙刷的售單價？

Answer 1

【答案】（1）y=－10x+400；（2）單價定為30元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤為1000元；（3）銷售單價每支不低于25元，且不高于35元時，可保證捐款后每天剩余利潤不低于550元．

【解析】

（1）利用待定系數法將（30，100），（35，50）代入可得函數關系式；

（2）根據利潤=單件利潤×銷售量，列出函數關系式并配方可得最值；

（3）畫出函數的大致圖象，當W=550時x=25或35，知25≤x≤35時，W≥550．

（1）設y與x的函數關系式為y=kx+b，

將（30，100），（35，50）代入y=kx+b，得，

解得，

∴y與x的函數關系式為y=－10x+400；

（2）設該款電動牙刷每天的銷售利潤為w元，

由題意得 w=（x－20）·y=（x－20）（－10x+400）=－10x2+600x－8000 =－10（x－30）2 +1000，

∵－10＜0，

∴當x=30時，w有最大值，w最大值為1000．

答：該款電動牙刷銷售單價定為30元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤為1000元；

（3）設捐款后每天剩余利潤為 z 元，

由題意可得z=－10x2+600x－8000－200 =－20x2+600x－8200，

令z=550，

即－10x2+600x－8200=550，

解得x1=25，x2=35，

畫出每天剩余利潤z關于銷售單價x的函數關系圖象如解圖，

由圖象可得:當該款電動牙刷的銷售單價每支不低于25元，且不高于35元時，可保證捐款后每天剩余利潤不低于550元．