Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點M的坐標為，點N的坐標為，且，，我們規定：如果存在點P，使是以線段MN為直角邊的等腰直角三角形，那么稱點P為點M、N的“和諧點”.

（1）已知點A的坐標為，

①若點B的坐標為，在直線AB的上方，存在點A，B的“和諧點”C，直接寫出點C的坐標；

②點C在直線x＝5上，且點C為點A，B的“和諧點”，求直線AC的表達式.

（2）⊙O的半徑為r，點為點、的“和諧點”，且DE＝2，若使得與⊙O有交點，畫出示意圖直接寫出半徑r的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）①點C坐標為或；②y＝x＋2或y＝－x＋4；（2）或

【解析】

（1）①根據“和諧點”的定義即可解決問題；

②首先求出點C坐標，再利用待定系數法即可解決問題；

（2）分兩種情形畫出圖形即可解決問題．

（1）①如圖1．

觀察圖象可知滿足條件的點C坐標為C（1，5）或C'（3，5）；

②如圖2．

由圖可知，B（5，3）．

∵A（1，3），∴AB=4．

∵△ABC為等腰直角三角形，∴BC=4，∴C1（5，7）或C2（5，﹣1）．

設直線AC的表達式為y=kx+b（k≠0），當C1（5，7）時，，∴，∴y=x+2，當C2（5，﹣1）時，，∴，∴y=﹣x+4．

綜上所述：直線AC的表達式是y=x+2或y=﹣x+4．

（2）分兩種情況討論：

①當點F在點E左側時：

連接OD．則OD=，∴．

②當點F在點E右側時：

連接OE，OD．

∵E（1，2），D（1，4），∴OE=，OD=，∴．

綜上所述：或．