Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，現將紙片折疊，點D的對應點記為點P，折痕為EF(點E、F是折痕與矩形的邊的交點)，再將紙片還原．

（1）若點P落在矩形ABCD的邊AB上(如圖1)．

①當點P與點A重合時，∠DEF=　　　　°，當點E與點A重合時，∠DEF=　　　　°．

②當點E在AB上時，點F在DC上時(如圖2)，若AP=，求四邊形EPFD的周長．

（2）若點F與點C重合，點E在AD上，線段BA與線段FP交于點M(如圖3)，當AM=DE時，請求出線段AE的長度．

（3）若點P落在矩形的內部(如圖4)，且點E、F分別在AD、DC邊上，請直接寫出AP的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①90，45；②；（2） 0.6；（3）1．

【解析】

（1）①當點與點重合時，是的中垂線，可得結論；當點與點重合時，如圖2，則平分；

②如圖3中，證明得，根據一組對邊平行且相等得：四邊形是平行四邊形，加上對角線互相垂直可得為菱形，當時，設菱形的邊長為，根據勾股定理列方程得：，求出的值即可；

（2）連接，由折疊性質可證，設．根據全等性質用x表示出線段關系，再由中可列方程求解；

（3）如圖，當與重合，點在對角線上時，有最小值，根據折疊的性質求，由勾股定理求，所以．

解：（1）①當點與點重合時，

是的中垂線，

，

當點與點重合時，

此時，

故答案為：90，45．

②如圖2中，設與交于點，由折疊知垂直平分．

，，

矩形，

，

，

，

，

，

，

四邊形是平行四邊形，

四邊形是菱形，

當時，設菱形邊長為，則，

在中，，

，

菱形的周長．

（2）如圖3中，連接，設．

由折疊知，，，

，，

，

，

，，

在中，

解得．

．

（3）如圖中，連接，，．

，，

，此時的最小值，

，

，

當與重合時，的值最小，由折疊得：，

由勾股定理得：，

，

當，，共線時，有最小值，

，

則的最小值是1．