Question

【題目】如圖，已知等邊三角形△ABC，點 D，E 分別在 CA，CB 的延長線上，且 BE=CD，O為 BC 的中點，MO⊥AB 交 DE 于點 M，OM=，AD=2，則 AB=________________．

Answer 1

【答案】4

【解析】

先添加輔助線構造等腰三角形CFD，再推到O是EF中點，之后根據等腰三角形和等邊三角形的性質來判斷OM∥FD，之后判斷出OM是三角形EFD的中位線即可求解本題．

解：如圖，延長EC到點F，使CF=BE，

連接DF，

∵BE=CD，

∴CF=CD，

作CH⊥FD于H，

則H為FD的中點，

即FD=2FH，

∵ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=60°，

∴∠F=∠FDC=30°，

設ABC的邊長為4a，

則CF=CD=2+4a，CE=4a+4a+2=8a+2，

∵O是BC中點，

∴OC=OB=2a，

∴OF=OE=6a+2，

故O為EF中點，

∵MO⊥AB 交 DE 于點 M，

∴∠BOM=30°=∠F，

∴OM∥FD，

故M為ED中點，

∴,

故,

在直角CHF中，

∵CF=4a+2，∠F=30°，

∴CH=2a+1，

，

∴，

解得：，

∴AB=4a=4；

故答案為：4．