Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝12，點F是AB的中點，過點F作FD⊥AB交AC于點D．

（1）若△AFD以每秒2個單位長度的速度沿射線FB向右移動，得到△A1F1D1，當F1與點B重合時停止移動．設移動時間為t秒，△A1F1D1與△CBF重疊部分的面積記為S．直接寫出S與t的函數關系式．

（2）在（1）的基礎上，如果D1，B，F構成的△D1BF為等腰三角形，求出t值．

Answer 1

【答案】（1）（1）當0＜t≤1時， S＝2t2；當1＜t≤2時， S＝﹣t2+6t﹣3；當2＜t≤3時，﹣t2+12t﹣9；（2）t的值為3﹣或或．

【解析】

（1）分三種情形：①如圖1中，當0＜t≤2時，重疊部分是△PFF1．②如圖2中，當2＜t≤4時，重疊部分是四邊形FPD1F1．③如圖3中，當4＜t≤6時，重疊部分是五邊形FQRPF1．分別求解即可解決問題．

（2）分三種情形：BD＝D1F，BD＝BD1，D1F＝D1B分別求解即可．

解：（1）①如圖1中，當0＜t≤1時，重疊部分是△PFF1，

∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，點F是AB的中點，FD⊥AB

∴∠B=60°，CF=BF

∴△FBC為等邊三角形

∴∠P FF1=60°

∴∠FPF1=30°

由題意可得FF1=2t

∴PF=2 FF1=4t，根據勾股定理可得PF1=2t

S＝FF1PF1＝×2t2t＝2t2．

②如圖2中，當1＜t≤2時，重疊部分是四邊形FPD1F1，過點P作PH⊥AB于

∵AF=AB=6

在△AFD中，設DF==x，則AD=2x

根據勾股定理可得x2＋62=（2x）2

解得：x=2

由題意可得FF1=2t

∴FA1=6－2t ，

∵∠FPA1=∠CFH－∠PA1F=30°

∴PF= FA1=6－2t ，

∴PH=PF=（3﹣t）

S＝﹣＝AF·DF﹣A1F·PH＝﹣t2+6t﹣3．

③如圖3中，當2＜t≤3時，重疊部分是五邊形FQRPF1，過點Q作QH⊥AB

由②同理FA1=6－2t ，QH=（3﹣t）

∴BF1=BF－FF1=6－2t，PF1= BF1=（6－2t）

∴D1P=DF－PF1=2t－4，

∴D1R= D1P=t－2，PR= D1P=3t－6

由平移可知∠BRQ=∠BCA=90°

∴∠D1RP=90°

S＝﹣﹣＝AF·DF﹣A1F·PH﹣D1R·PR＝﹣t2+12t﹣9．

綜上所述：當0＜t≤1時， S＝2t2；當1＜t≤2時， S＝﹣t2+6t﹣3；當2＜t≤3時，﹣t2+12t﹣9；

（2）①如圖4中，當BF＝BD1＝6時，

在Rt△BF1D1中，BF1＝＝＝2，

∴AA1＝FF1＝6﹣2，

∴t＝AA1÷2=3﹣．

②如圖5中，當D1F＝D1B時，

∵D1F1⊥FB

∴AA1＝FF1＝F1B＝3，

∴t＝AA1÷2=．

③如圖6中，當FD1＝FB＝6時，

根據勾股定理可得FF1＝

∴AA1＝FF1＝2，

∴t＝AA1÷2=，

綜上所述，滿足條件的t的值為3﹣或或．