Question

【題目】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，點M是線段BC的中點，點N在射線MB上，連接AN，平移△ABN，使點N移動到點M，得到△DEM（點D與點A對應，點E與點B對應），DM交AC于點P．

（1）若點N是線段MB的中點，如圖1．

① 依題意補全圖1；

② 求DP的長；

（2）若點N在線段MB的延長線上，射線DM與射線AB交于點Q，若MQ=DP，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】分析：（1）①根據題意補充圖形即可；

②連接AD．在Rt△ABN中，由勾股定理得AN的長．由平移的性質得到DM=AN，

進而得到△ADP∽△CMP，由相似三角形的性質即可得到結論．

（2）連接，先證四邊形是平行四邊形．由平行四邊形的性質得到∥，再由平行線的性質得到．進而得到．由平行線分線段成比例定理得到．由此得到NB的長，即可得到結論．

詳解：（1）①如圖1，補全圖形．

② 連接AD，如圖2．

在Rt△ABN中，∵∠B=90°，AB=4，BN=1，∴．

∵線段AN平移得到線段DM，∴DM=AN=，AD=NM=1，AD∥MC，

∴△ADP∽△CMP．

∴．

∴．

（2）連接，如圖3．

由平移知：∥，且=．

∵，

∴．

∴∥，且=．

∴四邊形是平行四邊形．

∴∥．

∴．

又∵，

∴．

∵∥，

∴．

又∵是的中點，且，

∴．

∴(舍去負數)．

∴．

∴．

方法二，連接AD，如圖4．

設CE長為x．

∵線段AB移動到得到線段DE，

∴，AD∥BM．

∴△ADP∽△CMP．

∴．

∵MQ=DP，

∴．

∵△QBM∽△QAD，

∴．

解得：．

∴．