Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是AC的中點，且∠A+∠CDB=90°，過點A，D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點E．

（1）求證：直線BD與⊙O相切；
（2）若AD：AE= ： ，BC=6，求切線BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD
∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO（等邊對等角）．

又∵∠A+∠CDB=90°（已知），

∴∠ADO+∠CDB=90°（等量代換），

∴∠ODB=180°﹣（∠ADO+∠CDB）=90°，即BD⊥OD．

又∵OD是圓O的半徑．

∴BD是⊙O切線

（2）解：連接DE，則∠ADE=90°（圓周角定理）．

∵∠C=90°，

∴∠ADE=∠C，

∴DE∥BC，

又∵D是AC中點，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE= BC=3，AE=BE．

∵AD：AE= ： ，

在直角△ADE中，利用勾股定理求得AE=3 ，則AB=6 ．

∴BD2=ABBE=6 ×3 =54，

∴BD=3 ．

【解析】（1）要證明BD是⊙O切線，由題意可知點D在圓上，因此連接OD，需證OD⊥BD，就要證∠ODB=90°，根據已知易證∠ADO+∠CDB=90°，即可證得結論
（2）先證明DE∥BC，由D是AC中點，可證得DE是△ABC的中位線，即可求得DE的長，再根據AD與AE的比值及勾股定理，就可以求得AE、AB的長，然后根據切割線定理得出BD2=ABBE，從而可求得BD的長。
【考點精析】掌握勾股定理的概念和三角形中位線定理是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．