Question

（2011•溫州一模）如圖1，矩形ABCD中，AB=21，AD=12，E是CD邊上的一點，DE=16，M是BC邊上的中點，動點P從點A出發，沿邊AB以每秒1單位長度的速度向終點B運動．設動點P的運動時間是t秒；

（1）求線段AE的長；
（2）當△ADE與△PBM相似時，求t的值；
（3）如圖2，連接EP，過點P作PH⊥AE于H．
①當EP平分四邊形PMEH的面積時，求t的值；
②以PE為對稱軸作線段BC的軸對稱圖形B′C′，當線段B′C′與線段AE有公共點時，寫出t的取值范圍（直接寫出答案）．

Answer 1

分析：（1）根據ABCD是矩形，得出∠D=90°，再由勾股定理即可求出AE的值；
（2）根據已知∠D=∠B=90°，即可求出△ADE與△PBM相似時，再分兩種情況進行討論；當∠DAE=∠PMB時有

DE

PB

=

AD

BM

，
解出t的值和當∠DAE=∠MPB時有

DE

BM

=

AD

PB

得出t的值；
（3）①根據題意得出S_△EHP=S_△EMP，求出t的兩個值，再根據t的取值范圍即可求出t的值；②根據PE為對稱軸作線段BC的軸對稱圖形B′C′直接寫出t的取值范圍即可；

解答：解：（1）∵ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∴AE²=AD²+DE²，
∵AD=12，DE=16，
∴AE=20，

（2）∵∠D=∠B=90°，
∴△ADE與△PBM相似時，有兩種可能；
當∠DAE=∠PMB時，有

DE

PB

=

AD

BM

，即

16

21-t

=

12

6

，
解得：t=13；
當∠DAE=∠MPB時，有

DE

BM

=

AD

PB

，即

16

6

=

12

21-t

，
解得t=

33

2

；

（3）①∵△ADE∽△PHA，
∴

AE

PA

=

AD

PH

=

DE

HA

，
∴

20

t

=

12

PH

=

16

HA

，
∴PH=

3

5

t，HA=

4

5

t，
∵S_△EHP=S_△EMP，
∴

1

2

×

3

5

t×（20-

4

5

t）=

1

2

×12×（5+21-t）-

1

2

×6×（21-t）-

1

2

×6×5，
解得：t=

75±5 17

4

，
∵0＜t＜21，
∴t=

75-5 17

4

；
②根據題意得：

140

11

≤t≤20．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質；解題的關鍵是根據勾股定理、相似三角形的判定和性質的綜合應用，要注意的是（2）中，有兩種情況進行分類求解．