Question

【題目】如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD，AD上的點，且CE=DF，AE，BF相交于點O，下列結論：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四邊形DEOF.其中正確的有（ ）

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據正方形的性質可得∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，然后求出AF=DE，再利用“邊角邊”證明△ABF和△DAE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=BF，從而判定出①正確；再根據全等三角形對應角相等可得∠ABF=∠DAE，然后證明∠ABF+∠BAO=90°，再得到∠AOB=90°，從而得出AE⊥BF，判斷②正確；假設AO=OE，根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質可得AB=BE，再根據直角三角形斜邊大于直角邊可得BE＞BC，即BE＞AB，從而判斷③錯誤；根據全等三角形的面積相等可得S△ABF=S△ADE，然后都減去△AOF的面積，即可得解，從而判斷④正確．

在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，

∵CE=DF，

∴AD-DF=CD-CE，

即AF=DE，

在△ABF和△DAE中，

AB＝AD

∠BAF＝∠D＝90°

AF＝DE

∴△ABF≌△DAE（SAS），

∴AE=BF，故①正確；

∠ABF=∠DAE，

∵∠DAE+∠BAO=90°，

∴∠ABF+∠BAO=90°，

在△ABO中，∠AOB=180°-（∠ABF+∠BAO）=180°-90°=90°，

∴AE⊥BF，故②正確；

假設AO=OE，

∵AE⊥BF（已證），

∴AB=BE（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等），

∵在Rt△BCE中，BE＞BC，

∴AB＞BC，這與正方形的邊長AB=BC相矛盾，

所以，假設不成立，AO≠OE，故③錯誤；

∵△ABF≌△DAE，

∴S△ABF=S△DAE，

∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，

即S△AOB=S四邊形DEOF，故④正確；

綜上所述，正確的有3個