Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx過A（4，0），B（1，3）兩點，點C、B關于拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線BH⊥x軸，交x軸于點H．

（1）求拋物線的表達式；
（2）直接寫出點C的坐標，并求出△ABC的面積；
（3）點P是拋物線上一動點，且位于第四象限，當△ABP的面積為6時，求出點P的坐標；
（4）若點M在直線BH上運動，點N在x軸上運動，當以點C、M、N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，請直接寫出此時△CMN的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點A（4，0），B（1，3）代入拋物線y=ax2+bx中，

得 解得： ，

∴拋物線表達式為：y=﹣x2+4x；

（2）

解：點C的坐標為（3，3），

又∵點B的坐標為（1，3），

∴BC=2，

∴S△ABC= ×2×3=3；

（3）

解：過P點作PD⊥BH交BH于點D，

設點P（m，﹣m2+4m），

根據題意，得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，

∴S△ABP=S△ABH+S四邊形HAPD﹣S△BPD，

6= ×3×3+ （3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣ （m﹣1）（3+m2﹣4m），

∴3m2﹣15m=0，

m1=0（舍去），m2=5，

∴點P坐標為（5，﹣5）．

（4）

解：以點C、M、N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，分三類情況討論：

①以點M為直角頂點且M在x軸上方時，如圖2，CM=MN，∠CMN=90°，

則△CBM≌△MHN，

∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，

∴M（1，2），N（2，0），

由勾股定理得：MC= = ，

∴S△CMN= × × = ；

②以點M為直角頂點且M在x軸下方時，如圖3，作輔助線，構建如圖所示的兩直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，

得Rt△NEM≌Rt△MDC，

∴EM=CD=5，MD=ME=2，

由勾股定理得：CM= = ，

∴S△CMN= × × = ；

③以點N為直角頂點且N在y軸左側時，如圖4，CN=MN，∠MNC=90°，作輔助線，

同理得：CN= = ，

∴S△CMN= × × =17；

④以點N為直角頂點且N在y軸右側時，作輔助線，如圖5，同理得：CN= = ，

∴S△CMN= × × =5；

⑤以C為直角頂點時，不能構成滿足條件的等腰直角三角形；

綜上所述：△CMN的面積為： 或 或17或5．

【解析】本題是二次函數的綜合題，考查了利用待定系數法求二次函數的表達式，考查了等腰直角三角形和全等三角形的判定和性質；本題的一般思路為：①根據函數的表達式設出點的坐標，利用面積公式直接表示或求和或求差列式，求出該點的坐標；②利用等腰直角三角形的兩直角邊相等，構建兩直角三角形全等，再利用全等性質與點的坐標結合解決問題．（1）利用待定系數法求二次函數的表達式；（2）根據二次函數的對稱軸x=2寫出點C的坐標為（3，3），根據面積公式求△ABC的面積；（3）因為點P是拋物線上一動點，且位于第四象限，設出點P的坐標（m，﹣m2+4m），利用差表示△ABP的面積，列式計算求出m的值，寫出點P的坐標；（4）分別以點C、M、N為直角頂點分三類進行討論，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的長，利用面積公式進行計算．
【考點精析】關于本題考查的等腰直角三角形，需要了解等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°才能得出正確答案．