Question

如圖，下列立體圖形是由若干個棱長是1的小立方體按一定的規律在地面上擺成的，若將露出的表面
都涂上顏色（底面不涂色），觀察該圖，探究其中的規律．
（1）第1個幾何體中只有2個面涂色的小立方體有______個；第3個幾何體中只有2個面涂色的小立方體有______個．
（2）設第n個幾何體中只有2個面涂色的小立方體的塊數為M，請用含有字母n的代數式表示M；
（3）求出第10個幾何體中沒有涂色的小立方體的個數．

Answer 1

解：（1）觀察圖形可得第1個幾何體中最底層的4個角的小立方體只有2個面涂色；第3個幾何體中只有2個面涂色的小立方體共有5×4=20個，
故答案為：4，20；

（2）觀察圖形可知：圖①中，兩面涂色的小立方體共有4個；
圖②中，兩面涂色的小立方體共有12個；
圖③中，兩面涂色的小立方體共有20個．
4，12，20都是4的倍數，可分別寫成4×1，4×3，4×5的形式，
因此，第n個圖中兩面涂色的小立方體共有4（2n-1）=8n-4，
∴M=8n-4 （n為正整數）；

（3）第10個幾何體中沒有涂色的小正方體有9×9×10=810個小正方體．
分析：（1）第1個幾何體中最底層的4個角的小立方體只有2個面涂色；第3個幾何體中只有2個面涂色的小立方體共有5×4=20個；
（2）根據所給圖形中只有2個面涂色的小立方體的塊數得到第n個幾何體中只有2個面涂色的小立方體的塊數與4的倍數的關系即可；
（3）總數去掉最外層即可得到沒有涂色的正方體的個數．
點評：考查圖形的變化規律；得到所求塊數與4的倍數的關系是解決本題的關鍵．