Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線AB與拋物線y=ax2+bx+c交于A，B(點A在點B的左側)兩點，點C是該拋物線上任意一點，過C點作平行于y軸的直線交AB于D，分別過點A，B作直線CD的垂線，垂足分別為點E，F．

特例感悟：

（1）已知：a=-2，b=4，c=6．

①如圖①，當點C的橫坐標為2，直線AB與x軸重合時，CD=____，|a|·AE·BF=___．

②如圖②，當點C的橫坐標為1，直線AB//x軸且過拋物線與y軸的交點時，CD=_____，|a|·AE·BF=_______．

③如圖③，當點C的橫坐標為2，直線AB的解析式為y=x-3時，CD=___，|a|·AE·BF=___．

猜想論證：

（2）由（1）中三種情況的結果，請你猜想在一般情況下CD與|a|·AE·BF之間的數量關系，并證明你的猜想．拓展應用．

（3）若a=-1，點A，B的橫坐標分別為-4，2，點C在直線AB的上方的拋物線上運動(點C不與點A，B重合)，在點C的運動過程中，利用（2）中的結論求出△ACB的最大面積．

Answer 1

【答案】（1）①6，6；②2，2；③7，7；（2），見解析；（3）27

【解析】

(1)①求得點A、B、C的坐標，得到點E、D、F三點重合，即可求得CD的長以及|a|·AE·BF的值；

②求得點A、B、C的坐標，得到點E、D、F三點重合，即可求得CD的長以及|a|·AE·BF的值；

③解方程組求得點A、B的坐標，再求得點C、D的坐標，即可求得CD的長以及|a|·AE·BF的值；

(2)利用參數法，設A、B、C三橫坐標分別為：，直線AB的解析式為，根據一元二次方程根與的關系，求得|a|·AE·BF，再利用兩點之間距離公式求得CD，即可證明；

(3)設點C的橫坐標為，△ACB的面積為S，根據，點A，B的橫坐標分別為-4，2，得到，，，利用三角形面積公式即可得到關于x的二次函數，利用二次函數的最值即可求解．

(1)已知：，則拋物線的解析式為，

①令，則或,

∴點A、B的坐標分別為，

∵點C的橫坐標為2，

∴點C的坐標為

∵直線AB與x軸重合，

∴點E、D、F三點重合，

如圖：

∴CD=6，

|a|·AE·BF=；

②令，則,

∴點A的坐標為

拋物線的對稱軸為，

∵直線AB//x軸，

∴點B的坐標分別為

∵點C的橫坐標為1，

∴點C的坐標為

∵直線AB//x軸，

∴點E、D、F三點重合，

如圖：

∴CD=8-6=2，

|a|·AE·BF=；

③解方程組得：或，

∴點A、B的坐標分別為，

∵點C的橫坐標為2，

∴點C的坐標為

∵直線CD平行于y軸，

∴點D的橫坐標為2，

把代入得：，

∴點D的坐標為

如圖：

∴CD=CF-FD=6+1=7，

|a|·AE·BF=；

(2)數量關系為：，

理由如下：

設A、B、C三橫坐標分別為：，直線AB的解析式為，

聯立方方程和，消去并整理得：

，

∵是方程的兩根，

∴，，

則，，

∴·AE·BF=

，

又∵點C的橫坐標為t，

∴點C的坐標為

∵直線CD平行于y軸，

∴點D的橫坐標為t，

把代入得：，

∴點D的坐標為

∴CD=

=，

∴CD=·AE·BF；

(2)設點C的橫坐標為，△ACB的面積為S，

過點C作CD平行于y軸交AB于D，

∵點A、B的橫坐標分別為-4、2，

則，，

∵，點A，B的橫坐標分別為-4，2，

則拋物線的解析式為，

∴點A、B的坐標分別為，

設直線AB的解析式為，則，

解得：，

∴直線AB的解析式為，

∴點C的坐標為點D的坐標為

∴，

∵，

由于，

∴當時，．