Question

【題目】如下圖①，拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于點A（，0），B（3，0），與y軸交于點C，連接BC．

（1）求拋物線的表達式；

（2）拋物線上是否存在點M，使得△MBC的面積與△OBC的面積相等，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）點D（2，m）在第一象限的拋物線上，連接BD．在對稱軸左側的拋物線上是否存在一點P，滿足∠PBC=∠DBC？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、y=－+2x+3；(2)、M1（， ），M2（， ）；(3)、（， ）

【解析】試題分析：(1)、利用待定系數法求出二次函數的解析式；(2)、根據等面積法得出點M的坐標；(3)、首先根據二次函數的解析式求出點C和點D的坐標，從而得出CD∥x軸，根據題意得出△CGB和△CDB全等，得出點G的坐標，利用待定系數法求出直線BP的函數解析式，然后求出一次函數和二次函數的交點坐標，根據點P在拋物線的左側得出點P的坐標.

試題解析：(1)、∵拋物線與x軸交于點A（，0），B（3，0），

，解得， ∴拋物線的表達式為．

(2)、存在．M1（， ），M2（， ）

(3)、存在．如圖，設BP交軸y于點G． ∵點D（2，m）在第一象限的拋物線上，

∴當x=2時，m=． ∴點D的坐標為（2，3）．

把x=0代入，得y=3． ∴點C的坐標為（0，3）． ∴CD∥x軸，CD = 2．

∵點B（3，0），∴OB =" OC" = 3 ∴∠OBC=∠OCB=45°．

∴∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°，又∵∠PBC=∠DBC，BC=BC，

∴△CGB ≌ △CDB（ASA），∴CG=CD=2． ∴OG=OCCG=1，∴點G的坐標為（0，1）．

設直線BP的解析式為y=kx+1，將B（3，0）代入，得3k+1=0，解得k=．

∴直線BP的解析式為y=x+1． 令x+1=．解得， ．

∵點P是拋物線對稱軸x==1左側的一點，即x<1，∴x=．把x=代入拋物線中，解得y=∴當點P的坐標為（， ）時，滿足∠PBC=∠DBC．