Question

【題目】如圖，AC為⊙O的直徑，B為AC延長線上一點，且∠BAD＝∠ABD＝30°，BC＝1，AD為⊙O的弦，連結BD，連結DO并延長交⊙O于點E，連結BE交⊙O于點M．

（1）求證：直線BD是⊙O的切線；

（2）求⊙O的半徑OD的長；

（3）求線段BM的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）⊙O的半徑OD的長為1；（3）線段BM的長為

【解析】

（1）利用等腰三角形的性質及三角形的內角和求得∠ODB＝90°，按照切線的判定定理可得答案；

（2）利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半及圓的半徑相等可得答案；

（3）先由勾股定理求得BE的長，再連接DM，利用有兩個角相等的三角形相似可判定△BMD∽△BDE，然后利用相似三角形的性質可得比例式，從而求得答案．

解：（1）證明：∵OA＝OD，∠BAD＝∠ABD＝30°，

∴∠BAD＝∠ADO＝30°，

∴∠DOB＝∠BAD+∠ADO＝60°，

∴∠ODB＝∠180°﹣∠DOB﹣∠ABD＝90°，

∵OD為⊙O的半徑，

∴直線BD是⊙O的切線；

（2）∵∠ODB＝90°，∠ABD＝30°，

∴OD＝OB，

∵OC＝OD，

∴BC＝OC＝1，

∴⊙O的半徑OD的長為1；

（3）∵OD＝1，

∴DE＝2，BD＝，

∴BE＝

如圖，連接DM，

∵DE為⊙O的直徑，

∴∠DME＝90°，

∴∠DMB＝90°，

∵∠EDB＝90°，

∴∠EDB＝∠DME，

又∵∠DBM＝∠EBD，

∴△BMD∽△BDE，

∴

∴BM＝

∴線段BM的長為