Question

【題目】如圖，直線與拋物線相交于A、B兩點，與軸交于點M，M、N關于軸對稱，連接AN、BN．

（1）①求A、B的坐標；

②求證：∠ANM=∠BNM；

（2）如圖，將題中直線變為，拋物線變為，其他條件不變，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①（-，），（ 1，2）②證明見解析（2）∠ANM=∠BNM成立

【解析】

試題分析：（1）①聯立直線和拋物線解析式可求得A、B兩點的坐標；②過A作AC⊥y軸于C，過B作BD⊥y軸于D，可分別求得∠ANM和∠BNM的正切值，可證得結論；

（2）當k=0時，由對稱性可得出結論；當k≠0時，過A作AE⊥y軸于E，過B作BF⊥y軸于F，設A、B，聯立直線和拋物線解析式，消去y，利用根與系數的關系，可求得，則可證明Rt△AEN∽Rt△BFN，可得出結論．

試題解析： （1）①由已知得2x2=x+1，解得x=-或x=1，

當x=-時，y=，當x=1時，y=2，

∴A、B兩點的坐標分別為（-，），（ 1，2）；

②如圖1，過A作AC⊥y軸于C，過B作BD⊥y軸于D，

由①及已知有A（-，），B（ 1，2），且OM=ON=1，

∴tan∠ANM==，tan∠BNM=，

∴tan∠ANM=tan∠BNM，

∴∠ANM=∠BNM；

（2）∠ANM=∠BNM成立，

①當k=0，△ABN是關于y軸的軸對稱圖形，

∴∠ANM=∠BNM；

②當k≠0，根據題意得：OM=ON=b，設A、B．

如圖2，過A作AE⊥y軸于E，過B作BF⊥y軸于F，

由題意可知：ax2=kx+b，即ax2﹣kx﹣b=0，

∴，，

∵=====0∴，

∴Rt△AEN∽Rt△BFN，

∴∠ANM=∠BNM．