Question

【題目】已知是等邊三角形，點是的中點，點在射線上，點在射線上，.

（1）如圖1，若點與點重合，求證：；

（2）如圖2，若點在線段上，點在線段上，求的值；

（3）如圖3，若，直接寫出的度數為______.

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）；（3）15°.

【解析】

（1）由△ABC是等邊三角形，則BD是高也是角平分線，則∠DBC=30°，∠BDC=90°，由，可求∠CDE=∠E=30°，即可得到DB=DE；

（2）過點D作DG⊥BC，DH⊥AB，連接BD，由∠ABC=60°，得到∠GDH=120°=∠EDF，得到∠FDH=∠EDG，又BD平分∠ABC，則DH=DG，可證△FDH≌△EDG，得到FH=EG，則BE+BF=BH+BG=2BG，設AC=BC=2k，則CD=k，CG=，得到BG=，即可得到的值.

（3）如圖，在BC上截取CM=AF，連接DM，DF，DE，由，則，先證明△AFD≌△CMD，得到DF=DM，由（2）知DF=DE，則DM=DE，則△MED是等腰三角形，則MG=EG=，設AC=2k，則ME=BD=，則DG=，則△EDG是等腰直角三角形，得∠E=45°，即可得到∠EDC=15°.

（1）證明：如圖，

∵△ABC是等邊三角形，D是AC中點，

∴AC⊥BD，BD平分∠ABC，

∴∠DBC=30°，∠BDC=90°，

∵，

∴∠CDE=30°，

∵∠ACB=60°，

∴∠E=30°=∠DBC，

∴BD=ED；

（2）解：如圖，過點D作DG⊥BC，DH⊥AB，連接BD，則∠BHD=∠BGD=90°，

∵∠ABC=60°，

∴∠GDH=120°=∠EDF，

∴∠FDH=∠EDG，

∵BD平分∠ABC，

∴DH=DG，

∴△FDH≌△EDG，

∴FH=EG，

∵BH=BG，

∴BE+BF=BH+BG=2BG，

∠CBD=∠CDG=30°，

設AC=BC=2k，∠CBD=∠CDG=30°，

∴CD=k，CG=，

∴BG=，DG=，

∴；

（3）如圖，在BC上截取CM=AF，連接DM，DF，DE，

∵，

∴，

∵AD=CD，∠A=∠ACD，

∴△AFD≌△CMD，

∴DF=DM，

由（2）知DF=DE，

∴DM=DE，

∴△MED是等腰三角形，

∴MG=EG=，

由（2）設AC=2k，則ME=BD=，

∴DG=，

∴△EDG是等腰直角三角形，

∴∠E=45°，

∵∠ACB=60°，

∴∠EDC=.

故答案為：15°.