Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，P是AB邊上的任意一點，過P點作PE⊥AB，交AD于E，連結CE、CP．已知∠A=60o ．

（1）試探究，當△CPE≌△CPB時，CD與DE的數量關系；

（2）若BC=4，AB=3，當AP的長為多少時，△CPE的面積最大，并求出面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）DE=DC；（2）AP=；△CPE的面積最大，值為．

【解析】

（1）由△CPE≌△CPB，根據全等三角形的對應邊相等，對應角相等可得BC=CE，∠B=∠PEC=120°，進而得出∠ECD=∠CE D，再利用等角對等邊得到ED=CD；

（2）延長PE交CD的延長線于F，設AP=x，OCPE的面積為y，由四邊形ABCD為平行四邊形可得AB=DC，AD=BC；在直角三角形APE中，可得∠PEA=30°；再利用直角三角形的性質表示出AE與PE;再由DE =AD-AE，再根據對頂角相等可得∠DEF=30°，利用直角三角形的性質可以表示出DF，進一步說明∠F=90°，再表示出三角形CPE的面積，得到y與x的函數解析式，最后利用二次函數的性質即可確定三角形CPE面積的最大值和AP的長．

（1）當△CPE≌△CPB時，有BC=CE，∠B=∠PEC=120°，

∴∠CED=180°-∠AEP-∠PEC=30°，

∵∠ADC=120°，

∴∠ECD=∠CED=180°-120°-30°=30°，

∴DE=CD

（2）延長PE交CD的延長線于F，設AP=x，△CPE的面積為y

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴DC = AB =3，AD=BC=4，

∵Rt△APE，∠A=60°，

∴∠PEA=30°。

∴AE=2x，PE=x，

在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD-AE=4-2x，

∴DF=DE=2-x，

∵AB//CD.PF⊥AB，

∴PF⊥CD，

∴= PE·CF，即y=，

配方得：y= x（0≤x≤3），，

∴當x=，△CPE的面積有最大值為，即AP的長為時，OCPE的面積最大，最大面積是．