Question

【題目】如圖，已知平行四邊形OABC的三個頂點A、B、C在以O為圓心的半圓上，過點C作CD⊥AB，分別交AB、AO的延長線于點D、E，AE交半圓O于點F，連接CF．
（1）判斷直線DE與半圓O的位置關系，并說明理由；
（2）①求證：CF=OC； ②若半圓O的半徑為12，求陰影部分的周長．

Answer 1

【答案】
（1）解：結論：DE是⊙O的切線．

理由：∵四邊形OABC是平行四邊形，

又∵OA=OC，

∴四邊形OABC是菱形，

∴OA=OB=AB=OC=BC，

∴△ABO，△BCO都是等邊三角形，

∴∠AOB=∠BOC=∠COF=60°，

∵OB=OF，

∴OG⊥BF，

∵AF是直徑，CD⊥AD，

∴∠ABF=∠DBG=∠D=∠BGC=90°，

∴四邊形BDCG是矩形，

∴∠OCD=90°，

∴DE是⊙O的切線．

（2）①證明由（1）可知：∠COF=60°，OC=OF，

∴△OCF是等邊三角形，

∴CF=OC．

②解：在Rt△OCE中，∵OC=12，∠COE=60°，∠OCE=90°，

∴OE=2OC=24，EC=12 ，

∵OF=12，

∴EF=12，

∴ 的長= =4π，

∴陰影部分的周長為4π+12+12 ．

【解析】（1）結論：DE是⊙O的切線．首先證明△ABO，△BCO都是等邊三角形，再證明四邊形BDCG是矩形，即可解決問題；（2）①只要證明△OCF是等邊三角形即可解決問題；②求出EC、EF、弧長CF即可解決問題．