Question

【題目】如圖，點D是⊙O的直徑CA延長線上一點，點B在⊙O上，且∠DBA=∠BCD．

（1）證明：BD是⊙O的切線．

（2）若點E是劣弧BC上一點，AE與BC相交于點F，且△BEF的面積為16，cos∠BFA=，那么，你能求出△ACF的面積嗎？若能，請你求出其面積；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）36.

【解析】（1）BD是⊙O的切線．先連接OB，由于AC是直徑，那么∠ABC=90°，于是∠1+∠C=90°，而OA=OB，可得∠1=∠2，結合∠3=∠C，易得∠2+∠3=90°，從而可證DB是⊙O的切線；

（2）由于cos∠BFA=，那么，利用圓周角定理可知∠E=∠C，∠4=∠5，易證△EBF∽△CAF，于是，從而易求△ACF的面積．

（1）BD是⊙O的切線．理由如下：

如圖所示，連接OB．

∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90°，∴∠1+∠C=90°．

∵OA=OB，∴∠1=∠2，∴∠2+∠C=90°．

∵∠3=∠C，∴∠2+∠3=90°，∴DB是⊙O的切線；

（2）在Rt△ABF中．

∵cos∠BFA=．

∵∠E=∠C，∠4=∠5，∴△EBF∽△CAF，

∴，即，解得：S△ACF=22.5．