Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，若點P和點關于x軸對稱，點和點關于直線l對稱，則稱點是點P關于x軸，直線l的二次對稱點．

（1）如圖1，點A(0，-1)．

①若點B是點A關于x軸，直線：x=2的二次對稱點，則點B的坐標為 ；

②點C (-4，1)是點A關于x軸，直線：x=a的二次對稱點，則a的值為 ；

③點D(-1，0)是點A關于x軸，直線的二次對稱點，則直線的表達式為 ；

（2）如圖2，O的半徑為2．若O上存在點M，使得點M′是點M關于x軸，直線：x = b的二次對稱點，且點M′在射線（x≥0）上，b的取值范圍是 ；

（3）E(0，t)是y軸上的動點，E的半徑為2，若E上存在點N，使得點N′是點N關于x軸，直線：的二次對稱點，且點N′在x軸上，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①(4，1)，②-2，③y =- x；（2）b的取值范圍是-1≤b≤；（3）-4≤t≤4

【解析】

（1）①根據題目中二次對稱點的定義，可以求得點B的坐標；

②根據題目中二次對稱點的定義，可以求得a的值；

③根據題目中二次對稱點的定義，可以求得直線l3的表達式；

（2）根據題意可以畫出相應的圖形，利用分類討論的方法即可解答本題；

（3）根據題意和對稱的二次對稱點的定義，根據題目中的圖形，可以求得t的取值范圍，本題得以解決．

解：（1）① 點B的坐標為 （4，1）

② a的值為-2

③直線l3的表達式為y =- x

（2）如圖2，

設O與x軸的兩個交點為（-2，0），（2，0），

與射線 (x≥0)的交點為，則的坐標為（1，）．

關于x軸的對稱點為．

當點M在的位置時，b=-1，

當點M在的位置時，b=1，

當點M在的位置時，b=1，

當點M在劣弧上時（如圖3），-1≤b≤1，

當點M在劣弧上時（如圖4），b的值比1大，當到劣弧的中點時，達到最大值（如圖5），最大值為．綜上，b的取值范圍是-1≤b≤．

（3）∵x軸和直線關于直線對稱，

直線和直線關于x軸對稱，

∴E只要與直線和有交點即可．

∴t 的取值范圍是：-4≤t≤4

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