Question

如圖：在平面直角坐標系中，直線AB：與坐標軸交于A、B兩點，⊙O₁與線段AO、AB、BO分別相切于點C、D、E，
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）求⊙O₁的半徑；
（3）若⊙O₂分別與線段AO的延長線、BO、AB的延長線相切于F、G、H，求⊙O₂的半徑；
（4）用尺規作圖作出分別與線段AO、BO的延長線、BA的延長線相切的⊙O₃，并直接寫出⊙O₃的半徑長．

Answer 1

解：（1）∵A、B兩點與直線相交，
∴當x=0時，y=4，當y=0時，x=3，
∴A（0，4），B（3，0）；

（2）∵A（0，4），B（3，0）
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
∴⊙O₁的半徑為：=1；

（3）由題意可知AF=AH，OF=OG，BG=BH
設 OF=OG=x，則 BG=BH=3-x，
在 Rt△AOB中，AO+OF=AB+BH
∴4+x=5+（3-x），
∴x=2，
∴⊙O₂的半徑為2，

（4）如圖所示，設切點為Q，W，
由題意可得：AQ=AW，
AQ+AB=r+OB，AW+r=4，
即AQ+5=r+3，AQ+r=4
解得：r=3，
當與BO、BA延長線及AO相切時，旁切圓半徑為：3．
分析：（1）根據直線AB與坐標軸交于A、B兩點，即可求出A、B點的坐標；
（2）根據A、B兩點坐標求出OA=4，OB=3，再求出AB=5，進而得出三角形內切圓半徑；
（3）利用切線長定理求出AO+OF=AB+BH，進而得出即可；
（4）利用旁心的性質得出圓的位置，進而得出答案．
點評：此題考查了一次函數與切線長定理的綜合應用，根據一次函數解析式求出A，B兩點的坐標再利用切線長定理得出是解題關鍵．