Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAD＝∠BAC，過點D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分線．

求證：（1）AD＝BD；

（2）CD＝DB．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據垂直的定義得到∠AED＝∠BED＝90°，由角平分線的定義得到∠ADE＝∠BDE，根據全等三角形的性質即可得到結論；

（2）根據全等三角形的性質得到∠BAD＝∠B，等量代換得到∠CAD＝∠BAD＝∠B，求得∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°，根據直角三角形的性質即可得到結論．

證明：（1）∵DE⊥AB，

∴∠AED＝∠BED＝90°，

∵DE恰好是∠ADB的平分線，

∴∠ADE＝∠BDE，

∵DE＝DE，

∴△ADE≌△BDE（ASA），

∴AD＝BD；

（2）∵△BED≌△AED，

∴∠BAD＝∠B，

∵∠BAD＝∠BAC，

∴∠CAD＝∠BAD＝∠B，

∵AD＝BD，∠CAD+∠BAD+∠B＝90°，

∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°，

在直角三角形ACD中，∠CAD＝30°，

∴CD＝AD＝BD．