Question

【題目】“凈揚”水凈化有限公司用160萬元，作為新產品的研發費用，成功研制出了一種市場急需的小型水凈化產品，已于當年投入生產并進行銷售．已知生產這種小型水凈化產品的成本為4元/件，在銷售過程中發現：每年的年銷售量(萬件)與銷售價格x（元/件）的關系如圖所示，其中AB為反比例函數圖象的一部分，BC為一次函數圖象的一部分．設公司銷售這種水凈化產品的年利潤為z（萬元）．（注：若上一年盈利，則盈利不計入下一年的年利潤；若上一年虧損，則虧損計作下一年的成本．）

（1）請求出y（萬件）與x（元/件）之間的函數關系式；

（2）求出第一年這種水凈化產品的年利潤z（萬元）與x（元/件）之間的函數關系式，并求出第一年年利潤的最大值；

（3）假設公司的這種水凈化產品第一年恰好按年利潤z（萬元）取得最大值時進行銷售，現根據第一年的盈虧情況，決定第二年將這種水凈化產品每件的銷售價格x（元）定在8元以上（），當第二年的年利潤不低于103萬元時，請結合年利潤z（萬元）與銷售價格x（元/件）的函數示意圖，求銷售價格x（元/件）的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當4≤x≤8時，；當8＜x≤28時，；當每件的銷售價格定 為16元時，第一年的年利潤最大為-16萬元；（3）當11≤x≤21時，第二年的年利潤z不低于103萬元．

【解析】

（1）將點A的坐標代入反比例函數求解即可求出反比例函數的解析式，再將點B和點C的坐標代入一次函數求解即可得出一次函數的解析式；

（2）根據公式“總利潤=單件利潤×數量”即可得出解析式，再根據二次函數的性質即可得出答案；

（3）先求出第二年的年利潤公式再令年利潤等于103，解一元二次方程并結合圖像性質即可得出答案．

解：（1）當4≤x≤8，設y=，將A（4，40）代入

得k=4×40=160，

所以y與x之間的函數關系式為：y=，

當8＜x≤28時，設y=kx+b，

將B（8，20）、C（28，0）代入得

，

解得 ，

∴y與x之間的函數關系為y=-x+28，

∴綜上所述得： ；

（2）當4≤x≤8時，，

∵z隨著x的增大而增大，

∴當x=8時，z最大值為-80，

當8＜x≤28時，

∴當x=16時，z最大值為-16，

∵-80＜-16，

∴當每件的銷售價格定 為16元時，第一年的年利潤最大為-16萬元；

（3）∵第一年的年利潤為-16萬元，

∴-16萬元應作為第二年的成本，

∴第二年的年利潤z=（x-4）（-x+28）-16=，

令z=103，則=103，

解得，

在平面直角坐標系中，畫出z與x的函數示意圖如圖，

觀察可知：z≥103時，11≤x≤21，

∴當11≤x≤21時，第二年的年利潤z不低于103萬元．